16.2. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ АДДИТИВНЫХ ПОМЕХ

16.2.1. Оптимальная двухканальная система обнаружения гауссовского сигнала на фоне гауссовской аддитивной помехи.

Для обнаружения стохастического сигнала на фоне аддитивной независимой помехи используется иногда двухканальная система (разнесенный прием). Когда сигнала нет, в каждом из каналов присутствует только помеха и наблюдаемые в них процессы независимы. Когда сигнал появляется в обоих каналах, возникает статистическая связь указанных случайных процессов.

Рассмотрим сначала задачу обнаружения гауссовского сигнала на фоне независимой гауссовской помехи. Предположим, что средние значения сигнала и помехи равны нулю, а дисперсии сигнала и помехи известны и равны соответственно Если и - процессы, наблюдаемые в первом и во втором каналах, то в отсутствие сигнала (гипотеза Я)

(16.50 а) , а когда присутствует сигнал (альтернатива ), то

(16.51 а)

Логарифм отношения правдоподобия для одного наблюдения

Если имеется независимых наблюдений в каждом из каналов, то

(16.52)

Рис. 16.4. Схема оптимального двухканального обнаружителя гауссовского сигнала

Из (16.52) следует оптимальное по критерию Неймана — Пирсона правило обнаружения сигнала: сигнал присутствует, если

(16.53)

и сигнала нет, если выполняется неравенство, обратное (16.53). Схема обнаружителя, реализующего алгоритм (16.53), представлена на рис. 16.4.

При гипотезе Н статистика в левой части (16.53) асимптотически нормальна с параметрами

(16.54 а )

Тогда при фиксированной вероятности а ложных тревог и 1 находим в алгоритме (16.53) порог

(16.54 в)

где — процентная точка нормального распределения.

При альтернативе К статистика в левой части (16.53) также асимптотически нормальна, причем

(16.55 а)

и при условии (слабый сигнал)

(16.556)

Тогда вероятность пропуска сигнала

и, следовательно, при асимптотическая рабочая характеристика рассматриваемого оптимального обнаружителя гауссовского сигнала

(16.57)

16.2.2. Коррелятор.

Для обнаружения гауссовского сигнала на фоне аддитивной независимой гауссовской помехи вместо оптимального алгоритма (16.53) можно использовать алгоритм, согласно которому принимается решение о наличии сигнала, если

(16.58)

Статистика в левой части (16.58), представляющая корреляционную сумму, асимптотически нормальна с параметрами

(16.59 а)

Используя (16.59 а и б), находим при 1 в алгоритме (16.58) порог

(16.60)

и вероятность пропуска сигнала (при )

(16.61)

откуда следует, что асимптотическая рабочая характеристика обнаружителя (коррелометра)

(16.62)

Заметим, что параметр рабочей характеристики (16.62) в 1/2 раз меньше параметра рабочей характеристики (16.57), т. е. КАОЭ коррелометра по отношению к оптимальному обнаружителю равен 0,5.

Когда средние и дисперсий гаусовских Сигнала и помехи неизвестны, задача обнаружения сигнала формулируется как задача проверки гипотезы о том, что при произвольных значениях средних и дисперсий сигнала и помехи коэффициент корреляции процессов равен нулю против альтернативы что . Оптимальное несмещенное правило обнаружения предписывает в этом случае сравнение с порогом оценки максимального правдоподобия коэффициента корреляции (см. [50, § 4.2])

(16.63)

где

Можно показать (см. [50], теорема 4.2.6), что статистика асимптотически нормальна со средним и дисперсией

Тогда в алгоритме (16.63) при и фиксированной вероятности а ложных тревог

(16.64)

Асимптотическая рабочая характеристика при (слабый сигнал) имеет вид

(16.65)

Ясно, что при и известных дисперсиях (16.63) переходит в (16.58), а (16.65) — в (16.62).

16.2.3. Коррелятор совпадения полярностей.

Предположим, что плотности вероятностей центрированных сигнала и помех описываются функциями, симметричными относительно начала координат, и что известны дисперсии сигнала и помех и четвертые центральные моменты распределения помех. Плотности вероятностей помех в первом и во втором каналах и плотность вероятности сигнала обозначим соответственно через дисперсии помех и сигнала — четвертые центральные моменты помех — Задача обнаружения стохастического сигнала состоит в проверке гипотезы о том, что наблюдаемые в канале процессы независимы, т. е. что их совместная плотность распределения в совпадающие моменты времени

(16.66)

против альтернативы К, что эта плотность равна

(16.67)

Подынтегральная функция в (16.67) представляет совместную трехмерную плотность вероятности независимых аддитивной помехи и сигнала.

Для обнаружения стохастического сигнала на фоне аддитивных независимых помех (при указанных (предположениях) используем следующий знаковый алгоритм: принимается решение, что присутствует сигнал (отвергается гипотеза Я), если

(16.68)

Предполагается, конечно, что компоненты векторов наблюдений х и у независимы.

Алгоритм (16.68) соответствует коррелятору совпадения полярностей (называемому иногда просто полярным коррелятором, рис. 16.5).

Учитывая связь функций можно алгоритм (16.68) переписать в виде

(16.69)

Рис. 16.5. Схема коррелятора совпадения полярностей

Сумма (16.69), равная числу совпадения знаков наблюдений в каналах, подчиняется биномиальному закону с параметрами если справедлива гипотеза Н, и с параметрами если справедлива альтернатива причем

При использовании алгоритма (16.69) вероятность ложной тревоги

Формула (16.71), которая не отличается от (13.177), позволяет найти постоянное значение порога с в (16.69) для любых симметричных плотностей вероятностей помех и сигнала. Иными словами, порог, устанавливаемый в полярном корреляторе, при заданной вероятности а совпадает с порогом, устанавливаемым в знаковом обнаружителе постоянного сигнала. Таким образом, при указанных ограничениях коррелятор совпадения полярностей представляет непараметрический обнаружитель стохастического сигнала на фоне аддитивных независимых помех.

При 1 статистика в левой части (16.69) асимптотически нормальна со средним и дисперсией причем при гипотезе . Порог с в (16.69) в этом случае определяется по формуле (13.179 а), а рабочая характеристика алгоритма — по формуле (13.181), где вычисляется с помощью (16.70). При слабом сигнале Из (16.70) находим и тогда асимптотическая рабочая характеристика коррелятора совпадения полярностей

(16.72)

16.2.4. Относительная эффективность коррелятора совпадения полярностей.

Определим КАОЭ алгоритма (16.69) по отношению к алгоритму (16.53) обнаружения стохастического сигнала, оптимального при нормальном распределении сигнала и помех. Предположим, что алгоритм (16.53) используется при произвольных симметричных плотностях распределений сигнала и независимых аддитивных стационарных помех.

При гипотезе Н (сигнала нет)

(16.73 а)

На альтернативе К (сигнал присутствует)

(16.74 а)

Статистика в левой части (16.53) асимптотически нормальна с параметрами, определяемыми согласно (16.73 а, б). Тогда при 1 и заданной вероятности а ложных тревог порог

(16.75)

а асимптотическая рабочая характеристика

(16.76)

Для гауссовских помех при и формулы (16.75), (16.76) совпадают с (16.54) и (16.57) соответственно.

Из (16.72) и (16.76) непосредственно следует (как из сопоставления многих аналогичных соотношений) выражение для КАОЭ коррелятора совпадения полярностей по отношению к обнаружителю, оптимальному при гауссовских помехах:

(16.77)

Если распределение помех нормальное с одинаковыми дисперсиями, то и

(16.78 а )

т. е. коррелятор совпадения полярностей в этом случае существенно уступает по эффективности оптимальному обнаружителю стохастического сигнала.

Однако при лапласовских помехах (см. п. 13.8.7) . Для помех, распределенных равномерно на интервале

(16.78 в)

т. е. в этом случае эффективность коррелятора совпадения полярностей по сравнению с оптимальным мизерная.

Наконец, для помехи в виде синусоиды со случайной фазой (см. п. 13.8.7) и

(16.78 г)

Если т. е. если плотность вероятности помех равна нулю в начале координат (мультимодальные, симметричные распределения), то из (16.77) следует .

Используя (16.62) и (16.76), находим КАОЭ коррелятора совпадения полярностей по отношению к обычному коррелятору

(16.79)

Из (16.79) следует, что при гауссовских помехах а при лапласовских

16.2.5. Ранговые алгоритмы обнаружения стохастического сигнала.

Пусть - выборки наблюдений в двух каналах и пусть — ранговые векторы этих выборок. Для проверки гипотезы Н — сигнала нет (выборки х и у независимы) — против альтернативы К — сигнал присутствует в обоих каналах (выборки и у зависимы) — можно использовать следующее правило: принимается альтернатива К, если

(16.80)

и она отклоняется, если выполняется неравенство, обратное (16.80).

Статистика в (16.80) называется коэффициентом ранговой корреляции Спирмена. Среднее и дисперсия этой статистики при гипотезе Н

(16.80 а)

Так как статистика асимптотически нормальна, то при в (16.80) порог

где а — заданная вероятность ложных тревог и процентная точка нормального распределения.

Эквивалентным по эффективности алгоритму (16.80) является алгоритм, использующий статистику Кендалла:

(16.81)

Схема обнаружителя стохастического сигнала, функционирующего согласно алгоритму (16.80), изображена на рис. 16.6.

Можно показать, что при гауссовских помехах КАОЭ рангового алгоритма (16.80) обнаружения стохастического сигнала по отношению к алгоритму (16.53), оптимальному при гауссовских помехах, равен по отношению к алгоритму (16.58) (коррелятор) и по отношению к алгоритму (16.69) (коррелятор совпадения полярностей) 2,25.

Рис. 16.6. Схема рангового обнаружителя стохастического сигнала