14.6. АНАЛОГОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ
14.6.1. Постановка задачи.
Пусть на интервале 
наблюдается реализация 
случайного процесса 
некоторые характеристики которого, например моментные функции, содержат неизвестные параметры 
Задача состоит в том, чтобы найти оценки этих параметров в виде функционалов от непрерывно наблюдаемой реализации
(14.130)
Каждый функционал представляет случайную величину, распределение которой связано с вероятностными характеристиками случайного процесса 
Как уже подчеркивалось в конце п. 13.9.1, предела функции правдоподобия, когда размер выборки неограниченно возрастает, не существует. Это, казалось бы, создает препятствия для формального обобщения изложенных результатов теории дискретных алгоритмов оценивания на аналоговые алгоритмы, в которых используются функционалы от реализаций случайных процессов. Чтобы преодолеть это препятствие, вместо несуществующего функционала правдоподобия вводится функционал отношения правдоподобия
(14.131)
где 
— некоторое фиксированное значение параметра 
. В регулярном случае 
Для синтеза аналоговых алгоритмов оценивания, оптимальных по рассмотренным критериям качества, следует учесть замечания, приведенные в п.п. 14.3.1 и 14.4.4 [см. (14.64 а) и (14.80 б)], 
замене функции правдоподобия статистикой отношения правдоподобия.
Тогда оптимальные аналоговые алгоритмы получаются предельным переходом [см. (14.131)] из дискретных алгоритмов оценивания при неограниченном увеличении размера выборки.
14.6.2. Несмещенность и эффективность оценок.
Оценка 
параметра 
называется несмещенной, если 
, где символ 
означает усреднение по множеству реализаций. Величина
(14.132)
называется смещением.
Информация по Фишеру об оцениваемом параметре 
, содержащаяся в реализации 
случайного процесса, определяется по формуле
Нижнюю границу дисперсии оценки получаем из неравенства Рао — Крамера [см. (14.40)]
(14.134)
Оценка, для которой в (14.134) достигается равенство, называется эффективной.
14.6.3. Оптимальные аналоговые алгоритмы оценивания.
Если параметр 
— неизвестная константа, то, используя критерий максимального правдоподобия
(14.135)
получаем уравнение максимального правдоподобия
(14.136)
которое при условии
(14.136 а)
определяет оценку максимального правдоподобия 
[см. (14.68), (14.68 а)].
Если параметр 
случайный и известна его априорная плотность вероятности 
, то апостериорная плотность вероятности параметра 
по наблюдаемой реализации 
случайного процесса
(14.137)
Оценка 
по критерию максимума апостериорной плотности находится из уравнения [ом. (14.72)]
(14.138)
при условии
(24.138 а)
Апостериорный риск 
, получим усреднением функции потерь по апостериорной плотности (14.137):
(14.139)
Байесовская оценка 
определяемая из условия минимума апостериорного риска (14.139) для четных функций потерь и для унимодальных и симметричных относительно моды апостериорных плотностей вероятности оцениваемого параметра, имеет вид [см. (14.80) и (14.80 а)]
(14.140)
или
Заметим, что знаменатель в правой части (14.140 а) представляет усредненный по априорному распределению параметра функционал отношения правдоподобия.
Естественным образом приведенные определения и соотношения обобщаются на совместные оценки компонент векторного параметра.
