4.2. КЛАССИФИКАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПО ИХ ВЕРОЯТНОСТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

4.2.1. Предварительное замечание.

В п. 4.1.2 случайные процессы классифицировались в зависимости от вида области определения процесса и пространства его значений. После введения вероятностного описания случайных процессов можно дать их классификацию с учетом тех или иных ограничений, которые предъявляются к вероятностным характеристикам случайных процессов.

4.2.2. Стационарные случайные процессы.

Случайный процесс называется стационарным (в узком смысле), если для произвольной последовательности для любого значения U и для любого целого числа функция распределения порядка процесса удовлетворяет тождеству

Иными словами, случайный процесс стационарен в узком смысле тогда и только тогда, когда функции распределения любого порядка не зависят от начала отсчета времени, т. е. когда любые вероятностные характеристики инвариантны относительно сдвига переменной

Условие стационарности (4.26) в узком смысле практически трудно проверить для произвольного случайного процесса. Однако можно сформулировать ряд необходимых (но не достаточных) условий стационарности в узком смысле. Значение этих условий состоит в том, что если хотя бы одно из них не выполняется, то можно утверждать, что исследуемый процесс — нестационарный.

Полагая в получаем одно из необходимых условий стационарности

т. е. для стационарности процесса необходимо, чтобы его одномерная функция распределения не зависела от времени.

Из (4.27) следует, что необходимыми условиями стационарности являются также независимость от времени одномерных плотности и характеристической функции процесса, а следовательно, и моментных функций . В частности, самыми простыми необходимыми условиями стационарности являются постоянство среднего значения и дисперсии процесса.

Полагая в получаем еще одно необходимое условие стационарности

т. е. для стационарности процесса необходимо, чтобы его двумерная функция распределения зависела не от двух моментов времени, а только от их разности. Из (4.28) следует, что необходимыми условиями стационарности являются также зависимости только от разности двух моментов времени двумерных плотности вероятности и характеристической функции а следовательно, и корреляционной функции

4.2.3. Пример стационарного в узком смысле случайного процесса.

Рассмотрим случайный процесс , представляющий гармоническое колебание, у которого амплитуда и частота постоянные, а фаза — случайная величина:

Покажем, что необходимым и достаточным условием стационарности в узком смысле является равномерное распределение фазы

(4.30 а)

Ясно, что любая конечномерная функция распределения процесса (4.30) полностью определяется распределением случайной фазы и, следовательно, для доказательства инвариантности функции распределения процесса относительно сдвига переменной t необходимо и достаточно доказать указанную инвариантность для распределения случайной фазы.

Пусть . Тогда из (4.30) следует

Плотность вероятности случайной фазы процесса и случайной фазы процесса после временного сдвига изображены сплошными линиями на рис. 4.3,а,б. Так как фазы, отличающиеся на [см. интервалы не изменяют значений процесса, то при условии (4.30а) , т. е. равномерная плотность вероятности фазы инвариантна сдвигу процесса во времени (штриховая линия на рис. 4.3,6).

Рис. 4.3. Плотность вероятности фазы, инвариантная (а, б) и неинвариантная (в, г) сдвигу

Но при неравномерном распределении фазы случайный процесс (4.30) перестает быть стационарным, как это иллюстрируют рис. 4.3,в,г (плотность, изображенная штриховой линией на рис. 4.3, г не совпадает с исходной плотностью, изображенной на рис. 4.3, б).

Заметим, что при равномерном распределении случайной фазы процесс (4.30) сохраняет свойство стационарности в узком смысле и тогда, когда амплитуда А становится случайной величиной, не зависящей от времени, так как в этом случае инвариантность функций распределения процесса относительно сдвига определяется инвариантностью к сдвигу только распределения фазы.

4.2.4. Стационарность в широком смысле.

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его среднее значение не зависит от времени: , а его корреляционная функция зависит только от разности моментов времени: . Ясно, что (4.27) и (4.28) являются не только необходимыми, но и достаточными условиями стационарности случайного процесса в широком смысле. Случайные процессы, стационарные в узком смысле, стационарны, конечно, и в широком смысле, но обратное, вообще говоря, неверно.

4.2.5. Эргодические случайные процессы.

Стационарный в узком смысле случайный процесс называется эргодическим, если любая его вероятностная характеристика, полученная усреднением по множеству реализаций, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равна временному среднему, полученному усреднением за достаточно большой промежуток времени из единственной реализации случайного процесса. Из эквивалентности двух способов усреднения по множеству и по времени следует, что для определения вероятностных характеристик эргодического случайного процесса нет необходимости изучать совокупность реализадий, которыми исследователь, как правило, не располагает, а достаточно одной реализации, наблюдаемой в течение длительного промежутка времени.

Рассмотрим некоторую реализацию случайного процесса на интервале времени . За период суммарное время пребывания реализации ниже порога (рис. 4.4)

где — функция единичного скачка [см. (2.7)]. Предел

называется относительным временем пребывания реализации ниже порога

Для эргодического процесса относительное время пребывания реализации не зависит от того, какая выбрана реализация, и совпадает с одномерной функцией распределения стационарного случайного процесса

Дифференцируя обе части (4.33) по и учитывая (2.17), находим

Из (4.34) следует

Рис. 4.4. Реализация случайного процесса

Обозначая символом усреднение по времени, получаем соотношение

которое устанавливает равенство между моментом порядка эргодического процесса и усреднением по времени степени произвольно выбранной реализации этого процесса. В частности, величину можно трактовать как постоянную составляющую реализации, которая в соответствии с (4.35) равна среднему значению эргодического процесса:

Если представляет изменение напряжения «ли тока на нагрузке 1 Ом, то равен средней мощности (квадрату эффективного значения) реализации. Тогда в соответствии с (4.35)

т. е. средний квадрат эргодического случайного процесса равен средней мощности любой его реализации.

Соотношения (4.33) и (4.34) обобщаются очевидным образом на двумерную функцию распределения и двумерную плотность

Из (4.39) следует

т. e. корреляционная функция эргодического случайного процесса равна временной корреляционной функции любой его реализации.

В наиболее общем виде свойство эргодичности случайного процесса выражается соотношениями

Стационарный процесс называется эргодическим в широком смысле, если среднее значение процесса совпадает с постоянной составляющей его реализации, а корреляционная функция — с временной корреляционной функцией реализации.

4.2.6. Условия эргодичности.

Необходимым и достаточным условием эргодичности стационарного случайного процесса является так называемая метрическая транзитивность процесса. Стационарный случайный процесс метрически транзитивен, если любая часть совокупности реализаций процесса, вероятностная мера которой меньше единицы, уже не является стационарной. Если же указанная часть реализации процесса сохраняет свойство стационарности, то процесс не является метрически транзитивным и, следовательно, эргодическим. Образно выражаясь, можно охарактеризовать метрическую транзитивность как «ортодоксальный коллективизм» совокупности реализаций, которая теряет стационарность вместе с потерей части «членов коллектива».

4.2.7. Пример эргодического случайного процесса.

Рассмотрим снова гармоническое колебание (4.30), у которого амплитуда и частота постоянные, а фаза — случайная величина, распределенная равномерно на интервале . Как было показано в п. 4.2.3, это колебание представляет стационарный в узком смысле случайный процесс.

Рассмотрим часть совокупности реализаций процесса (4.30), определяемую неравенством (рис. 4.4, а). Ясно, что

Заменяя переменную и полагая получаем для указанной части совокупности реализаций смещенную плотность, изображенную на рис. 4.5, а штриховой линией. Вследствие неразличимости двух значений фаз, отличающихся на указанная смещенная плотность приобретает вид, изображенный на рис. который существенно отличается от исходной плотности (рис. 4.5, а, сплошная линия). Это означает, что для указанной части совокупности реализаций процесса (4.30) , т. е. свойство стационарности нарушено и, следовательно, рассматриваемый стационарный случайный процесс эргодический.

Однако не каждый стационарный случайный процесс эргодический. В качестве примера рассмотрим гармоническое колебание (4.30) с постоянной частотой случайной фазой равномерно распределенной на интервале , и независимой от фазы случайной амплитудой , распределенной по рэлеевскому закону. Как отмечалось в п. 4.2.3, такое колебание сохраняет свойство строгой стационарности.

Рис. 4.5. Эргодическое гармоническое колебание со случайной фазой

Пусть часть совокупности реализаций этого стационарного случайного процесса определяется неравенствами где — медиана рэлеевского распределения. Ясно, что

Но так как инвариантность функций распределения рассматриваемого процесса относительно сдвига времени определяется инвариантностью к сдвигу только распределения фазы, то стационарность сохраняется и для указанной части совокупности реализаций (с вероятностной мерой, равной 0,5). Следовательно, гармоническое колебание со случайной амплитудой и равномерно распределенной фазой служит примером стационарного, но не эргодического случайного процесса. Нетрудно убедиться, что для этого процесса среднее по времени квадрата случайного процесса зависит от выбора реализации и принимает различные значения для двух реализаций. Например, если усредняются по времени следующие две реализации: , то

4.2.8. Случайные процессы, удовлетворяющие условию сильного перемешивания.

Стационарный в узком смысле случайный процесс удовлетворяет условию сильного перемешивания, если при

где порожденные случайным процессом сигма-алгебры интерпретируются как прошлое и будущее процесса .

Функция , называемая коэффициентом сильного перемешивания, — числовая мера зависимости будущего процесса от его прошлого. Случайные процессы, удовлетворяющие условию сильного перемешивания, являются эргодическими.

Если при

то стационарный в узком смысле случайный процесс удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания. Процесс, удовлетворяющий условию (4.44 а) равномерно сильного перемешивания, удовлетворяет и условию (4.44) сильного перемешивания.

Если при то случайный процесс с сильным перемешиванием называют Т-зависимым. В этом случае два значения процесса независимы, если

4.2.9. Стационарно связанные и совместно эргодические случайные процессы.

Понятия стационарности и эргодичности можно распространить на совокупности случайных процессов (векторные случайные процессы).

Случайные процессы образуют совокупность стационарно связанных (в узком смысле) процессов, если их совместные функции распределения не зависят от выбора начала отсчета времени.

Два стационарных случайных процесса стационарно связаны (в широком смысле), если взаимная корреляционная функция зависит только от временного сдвига [см. (4.22)]

Стационарно связанные случайные процессы совместно эргодические, если любая их совместная вероятностная характеристика совпадает с соответствующей характеристикой, полученной усреднением по времени функции от любого набора реализаций процессов (по одной от каждого процесса).

Два эргодических случайных процесса совместно эргодические в широком смысле, если

4.2.10. Случайные процессы со стационарными приращениями.

Случайный процесс называют процессом со стационарными приращениями, когда при любом фиксированном представляет стационарный случайный процесс. Очевидно, что любой стационарный процесс является случайным со стационарными приращениями, но не наоборот. Например, сумма стационарного случайного процесса и нестационарного процесса вида где — случайные величины, — нестационарный случайный процесс со стационарными приращениями.

Можно ввести более общее понятие случайного процесса со стационарными приращениями как процесса, для которого

представляет стационарный случайный процесс.