15.2. ФУНКЦИОНАЛ ОТНОШЕНИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА

15.2.1. Предварительное замечание.

При использовании дискретно-аналоговых алгоритмов неизбежны потери части полезной информации, содержащейся в наблюдаемой реализации случайного (процесса.

Эти потери связаны с ограниченностью размера выборки при мгновенной временной дискретизации непрерывной реализации и с конечным числом независимых координат реализации при фильтровом способе ее дискретизации. Представляет интерес синтез оптимальных аналоговых алгоритмов обнаружения сигналов на фоне аддитивных гауссовских помех, использующих всю непрерывную наблюдаемую реализацию для решения о наличии или отсутствии сигнала.

Как было показано в п. 13.9.3, оптимальный по любому из рассмотренных критериев качества аналоговый алгоритм проверки гипотезы Но против альтернативы предписывает сравнение с порогом логарифма функционала отношения правдоподобия. Поэтому для синтеза оптимального аналогового алгоритма обнаружения сигнала на фоне гауссовской помехи необходимо определить логарифм функционала отношения правдоподобия гауссовского случайного процесса с указанием ограничений, при которых этот функционал существует (см.

Имея в виду, что в дальнейшем будут рассмотрены также оптимальные алгоритмы различения сигналов на фоне аддитивных гауссовских помех, далее приводится вывод выражения логарифма функционала отношения правдоподобия для более общего случая, когда гипотеза состоит в том, что наблюдаемая реализация принадлежит гауссовскому прцессу с корреляционной функцией и средним значением а альтернатива — в том, что реализация принадлежит гауссовскому процессу с той же корреляционной функцией и средним значением . Для рассматриваемой здесь задачи обнаружения

15.2.2. Предел логарифма отношения правдоподобия для коррелированной выборки.

Запишем логарифм отношения правдоподобия для дискретной выборки полученной отбором на интервале через равные промежутки времени из реализации гауссовского случайного процесса [см. (13.124)]

(15.51)

где x — вектор с компонентами — векторы с компонентами — корреляционная матрица (положительно определенная) размером

Введем вектор

(15.51 а)

Тогда

(15.51 б)

Записывая компоненты вектора V в виде представим (15.516) интегральной суммой

(5.51 в)

Переходя к пределу при (или при шах ) на заданном интервале наблюдения , получаем неоднородное интегральное уравнение

(15.52)

из которого можно определить функцию Представим теперь (15.51) стохастической интегральной суммой

(15.53)

Для любой гипотезы дисперсия этой интегральной суммы и,

(15.54)

Если

(15.55)

то имеет место регулярный случай (см. п. 13.9.2) и логарифм отношения! правдоподобия (15.53) сходится в среднеквадратическом к логарифму функционала отношения правдоподобия

(15.56)

где — решение интегрального уравнения (15.52).

Нетрудно найти также средние значения логарифма функционала отношения правдоподобия при гипотезе и при альтернативе:

(15.576)

где параметр определяется по формуле (15.55) [см. (15.56)].

15.2.3. Вывод выражения логафима функционала отношения правдоподобия при помощи независимых координат.

Используя N независимых координат наблюдаемого гауссовского процесса, получаем (см. п. 15.1.7)

(15.58)

где

(15.596)

— собственные числа и собственные функции однородного линейного интегрального уравнения (15.38).

Из (15.58) находим средние и дисперсию логарифма отношения правдоподобия

(15.60 а)

Обозначим

Умножая обе части (15.61) на и), интегрируя по t от 0 до Т и используя (15.38), получаем

(15.62)

Используя (15.61), можно переписать выражение (15.58) в виде

(15.63)

Если дисперсия (15.606) при ограничена, т. е. если

(15.64)

то существует конечный предел

(15.65)

причем функция определяется из следующего неоднородного линейного интегрального уравнения [см. (15.59 б), (15.59 в), (15.62)]

Это уравнение не отличается от (15.52).

При выполнении условия (15.64) из (15.65) следует, что логарифм отношения правдоподобия (15.63) сходится в среднеквадратическом к функционалу

Последнее выражение совпадает с (15.56).

Когда ряд (15.64) расходящийся, логарифм отношения правдоподобия (15.63) стремится к если верна гипотеза если верна гипотеза

15.2.4. Обобщение на комплексный гауссовский процесс.

Распространим результаты п. 15.2.3 на комплексный гауссовский случайный процесс с известной корреляционной функцией где черта указывает на комплексно-сопряженную величину.

Найдем логарифм отношения правдоподобия для дискретной выборки (размером ) независимых координат

(15.66)

наблюдаемой на интервале (0, Т) реализации

(15.67)

центрированного гауссовского процесса

(15.68)

(гипотеза Но), или гауссовского процесса

(15.69)

(гипотеза ), где — детерминированная комплексна» функция.

Предполагается, что а также

(15.70)

Пр гипотезе

(15.71 а)

Введем, кроме того, координаты детерминированного процесса

(15.72)

Учитывая, что распределение случайных величин нормальное и при гипотезе, и при альтернативе, получаем аналогично (15.58)

(15.73)

или в комплексной форме

(15.74)

где

(15.75 б)

а — собственные числа и собственные функции интегрального уравнения 1

(15.76)

Обозначим

(15.77)

Из (15.77) аналогично (15.62)

(15.78)

Из (15.74) находим средние и дисперсию логарифма отношения правдоподобия

(15.79 а)

Тогда (15.74) можно переписать следующим образом:

(15.80)

Если диаперсия (15.79 б) при ограничена, т. е.

(15.81)

то существует предел

(15.82)

Функция определяется из неоднородного линейного интегрального уравнения, которое получается из (15.78) при

(15.83)

Интегральное уравнение (15.83) в комплексной форме эквивалентно системе двух интегральных уравнений относительно действительной и мнимой частей:

(15.846)

При выполнении условия (15.81) логарифм отношения правдоподобия (15.80) сходится в среднеквадратическом к функционалу

(15.85)