2.4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ

ZADANIA.TO

2.4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

2.4.1. Многомерная нормальная плотность вероятности.

Важнейшим для практических приложений является нормальное распределение совокупности случайных величин, которое определяется следующим выражением многомерной плотности вероятности этой совокупности:

где — матрица, обратная матрице

Из (2.64) следует, что нормальное распределение совокупности случайных величин полностью определяется вектором средних значений и ковариационной матрицей

Совокупность случайных величин, подчиняющуюся нормальному закону распределения, называют гауссовской.

Матричному представлению (2.64) многомерной нормальной плотности вероятности соответствует следующее ее выражение через скалярные величины:

где — матрица коэффициентов корреляции размером — алгебраическое дополнение элемента в определителе D.

Таким образом» -мерная нормальная плотность вероятности зависит от параметров и от параметров

Можно доказать, что любая часть гауссовской совокупности случайных величин также является гауссовской. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно (см. пример в [1, с. 51]).

2.4.2. Гауссовская случайная величина. Из (2.65) при находим нормальную плотность вероятности одной гауссовской случайной величины

которая определяется двумя параметрами: средним значением и дисперсией .

Как видно из кривые плотности нормального распределения при различных значениях дисперсии унимодальны, т. е. имеют один максимум в точке Кривая плотности в полосе ограничивает 99,7% общей площади, т. е. с вероятностью 0,997 значения гауссовской случайной величины попадают в интервал ().

Нетрудно показать, что точки перегиба, в которых кривая плотности имеет максимальную крутизну, определяются из равенства . При кривая распределения сливается с осью абсцисс, а при она переходит в дельта-функцию:

Функция распределения гауссовской случайной величины

Интеграл

называемый интегралом Лапласа, представляет функцию распределения нормированной стандартной гауссовской случайной величины при . Имеются многочисленные таблицы интеграла Лапласа, т. е. функции стандартного нормального распределения (см., например, [2]).

Эти таблицы можно использовать для определения значений при произвольных значениях параметров а и если заметить, что из (2.67) и (2.68) следует

Таблицы интеграла Лапласа составлены для положительных аргументов, а значения определяются из очевидного соотношения

Вблизи начала координат функция имеет участок, близкий к линейному, который хорошо описывается несколькими первыми членами степенного ряда

(2.70 а)

При достаточно большом аргументе имеет место асимптотическое разложение

(2.70 б)

Заметим, что если в знакопеременном ряде ограничиться несколькими членами, то ошибка будет меньше значения первого отброшенного члена. Поэтому из (2.706) следует

На рис. 2.5 для сравнения приведены функции нормального распределения при тех же значениях , что и на рис. 2.4. Предельная кривая при имеет вид единичного скачка в точке

Часто вместо функции рассматривается и табулируется так называемый интеграл вероятности (функция ошибок, функция Крампа)

(2.71 а)

и функция

Рис. 2.4. Плотности нормального распределения при различных дисперсиях

Рис. 2.5. Функции нормального распределения при различных дисперсиях

для которой (2.70) переходит в более простое соотношение

(2.71 в)

2.4.3. Совокупность независимых гауссовских случайных величин.

Если — совокупность независимых гауссовских случайных величин с параметрами

то из (2.43) и (2.66) следует, что совместная плотность вероятности этой совокупности случайных величин

Формула (2.72) является частным случаем общей формулы (2.65) (при ), для которого при при Ковариационная матрица и обратная ей матрица в этом случае диагональные.

Сравнение формул (2.65) и (2.72) показывает, что из попарной некоррелированности гауссовских случайных величин следует их независимость. Это положение является важным исключением общего утверждения о том, что из некорреллированности случайных величин не следует их независимость, и является характерной особенностью нормального распределения вероятностей.

2.4.4. Совокупность двух зависимых гауссовских случайных величин.

Двумерная плотность двух зависимых гауссовских величин зависит от пяти параметров: . Детерминант

а алгебраические дополнения .

Из (2.65) при находим двумерную плотность вероятности двух гауссовских случайных величин (рис. 2.6)

Функция распределения двух гауссовских случайных величин

(2.73 а)

В частном случае при функция связана простым соотношением с табулированным интегралом (см. Приложение 1 в [1])

(2.736)

Условная плотность гауссовской случайной величины при условии, что зависимая от нее гауссовская случайная величина в соответствии с (2.55), (2.66) и (2.73) равна