Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
13.5. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ ГАУССОВСКОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ13.5.1. Постановка задачи и априорные данные.Выдвигается гипотеза
где Возможными решениями являются
Если дисперсия 13.5.2. Достаточная статистика.Как было отмечено в п. 3.1.4, достаточной статистикой для проверки простой гипотезы против простой альтернативы является любое монотонное преобразование отношения правдоподобия. Для рассматриваемой задачи проверки простой гипотезы
Так как линейное преобразование — монотонное, то достаточной статистикой будет также
т. е. среднее арифметическое выборочных значений.
Рис. 13.4. Плотность вероятности исходной случайной величины (а) и достаточной статистики (б) Статистика
и из условия независимости выборочных значений
Рис. 13.4 иллюстрирует все возрастающую эффективность использования достаточной статистики для различения между гипотезой и альтернативой при увеличении размера выборки. Априорные плотности вероятности случайной величины 13.5.3. Оптимальные алгоритмы.Из результатов, приведенных в § 13.1, следует, что оптимальные дискретно-аналоговые одношаговые алгоритмы принятия решения при проверке простой гипотезы
где порог К определяется выбранным критерием качества. Для байесовского алгоритма, а также для алгоритмов максимальной апостериорной вероятности и максимального правдоподобия
где константа с для указанных критериев приведена в табл. 1.1. При использовании оптимальных по указанным трем критериям алгоритмов вероятности ошибок первого и второго рода
где
где
Формулы (13.75) и (13.76) можно записать иначе, если ввести процентные точки стандартного нормального распределения вероятностей [см. (2.34 а)]:
откуда следует простое соотношение между вероятностями ошибок первого и второго рода
которое определяется только величиной Нетрудно проверить, используя (13.67), что среднее и дисперсия логарифма отношения правдоподобия связаны с величиной
Заметим, что
Подставляя (13.75), (13.76) в (13.22), получаем величину минимального среднего (байесовского) риска (при
Если
и согласно (13.72)
Рис. 13.5 иллюстрирует равенство (13.84) и положение порога при использовании алгоритма максимального правдоподобия. В заключение отметим, что согласно (13.75) — (13.77) при 13.5.4. Алгоритм, оптимальный по критерию Неймана—Пирсона.Для критерия Неймана — Пирсона алгоритм принятия решения определяется согласно неравенствам (13.71), но порог К при заданной вероятности а ошибки первого рода определяется из уравнения [см. (13.73)]
которое можно переписать в виде
где Минимальная величина ошибки второго рода
или
Из (13.88a) следует, что и для рассматриваемого критерия имеет место соотношение (13.80) между вероятностями ошибок первого и второго рода.
Рис. 13.5. Вероятности ошибок (заштрихованные области) Из (13.88) следует также, что при Заметим, что порог К, устанавливаемый в соответствии с (13.87) у не зависит от Формула (13.88) допускает и другую интерпретацию: при заданных вероятностях ошибок
при котором возможна проверка гипотез с заданными вероятностями ошибок Если то решение
13.5.5. Минимаксный алгоритм.Полагая
При
Рис. 13.6. Зависимость байесовского риска от вероятности гипотезы при Если же в действительности рофро, а применяется байесовское решение для 13.5.6. Оптимальный последовательный алгоритм Вальда.Рассмотрим оптимальный многошаговый дискретно-аналоговый алгоритм проверки простых гипотез о среднем значении гауссовской случайной величины по критерию минимума средних размеров выборки до принятия решения. Из (13.39а-в) следует, что указанный алгоритм предписывает сравнение достаточной статистики логарифма отношения правдоподобия (13.67) с двумя порогами (при
Этот же алгоритм можно записать, используя статистику (13.68): на
или решение
«ли продолжаются наблюдения, если не выполняется ни одно из неравенств (13.91а,б). Определим средние значения (минимально возможные) размеров выборки до принятия решения. Так как в рассматриваемом случае
Подставляя (13.92) в (13.45а,б) получаем
Рис. 13.7. Функция мощности 13.5.7. Проверка простой гипотезы о среднем значении против сложной альтернативы.Предположим, что о неизвестном среднем значении гауссовской случайной величины выдвигается простая гипотеза
является несмещенным равномерно наиболее мощным алгоритмом относительно сложной альтернативы Однако, если проверяется гипотеза
где При Если
Можно показать [6], что для альтернативы, включающей все действительные значения параметра а, несмещенный равномерно наиболее мощный алгоритм определяется следующим образом: принимается решение
В отличие от алгоритмов (13.95) и (13.97) алгоритм (13.98) двусторонний, так Функция мощности, соответствующая правилу (13.98) (штриховая линия на рис. 13.7), имеет вид
и достигает минимума при
При всех Теперь в рассматриваемой задаче используем критерий максимального правдоподобия (13.62) и покажем, что статистика максимального правдоподобия [левая часть (13.62)] представляет монотонную функцию статистики, определяющей алгоритм (13.98). Так как
где
или
Из (13.98) и (13.100) следует, что алгоритм максимального правдоподобия, определяемый неравенствами
является несмещенным РНМ алгоритмом при проверке простой гипотезы 13.5.8. Несмещенный РНМ алгоритм проверки простой гипотезы о среднем против сложной альтернативы при неизвестной дисперсии.Необходимо проверить гипотезу Н о том, что выборка
Для гипотезы
Обозначения t и Можно показать (см., например, [41]; гл. 3), что при
где
Сравнивая правило (13.105) с аналогичным правилом (13.95) для проверки простой гипотезы о среднем против сложной альтернативы, когда дисперсия известна, замечаем: в (13.105) неизвестная дисперсия представлена выражением в квадратных скобках, а процентная точка нормального распределения заменена процентной точкой Если выборочные значения
где
— параметр Используя (13.106), запишем выражение вероятности ошибки второго рода при использовании правила (13.105):
Если
В этом случае, когда альтернатива содержит все действительные значения а, равномерно наиболее мощного правила не существует. Но аналогично (13.98) правило, согласно которому гипотеза Н отвергается, если
является наиболее мощным несмещенным правилом с заданной вероятностью а ошибки первого рода. При этом вероятность ошибки второго рода
13.5.9. Алгоритм максимального правдоподобия проверки гипотез о среднем значении при неизвестной дисперсии.Рассмотрим ту же задачу, что и в п. 13.5.8, но используем критерий максимального правдоподобия. Покажем, что в рассматриваемом случае статистика максимального правдоподобия [см. левую часть (13.62)] представляет монотонную функцию статистики Стьюдента (13.102). Максимум функции
по двум переменным а и
откуда находим экстремальные значения параметров а и
Подставляя (13.113), (13.114) в (13.112), находим
Аналогично
где
Тогда в соответствии с (13.62)
Но из (13.102), следует, что
Из (13.110) и (13.119) следует, что алгоритм максимального правдоподобия, определяемый неравенством
является несмещенным РНМ алгоритмом проверки простой гипотезы
|
1 |
Оглавление
|