4.4. КЛАССИФИКАЦИЯ СТАЦИОНАРНЫХ В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ ПРОЦЕССОВ ПО ИХ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ МОЩНОСТИ

4.4.1. Узкополосные процессы.

Стационарный в широком смысле случайный процесс называется узкополосным, если его спектральная плотность мощности сосредоточена в относительно узкой полосе частот около некоторой фиксированной частоты (рис. 4.8). Если — ширина полосы спектра, то условие узкополосности представляется неравенством

(4.110)

Для того чтобы исследовать характерные особенности корреляционной функции узкополосного процесса, рассмотрим выражение (4.83) и введем вместо переменной со новую переменную интегрирования равную расстройке текущей частоты относительно некоторой фиксированной частоты

Обозначим через спектр, полученный из исходного спектра смещением в область нижних частот на величину

Рис. 4.8. Узкополосный спектр

Рис. 4.9. Корреляционная функция узкополосного случайного процесса

Тогда выражение для корреляционной функции можно переписать в виде

Если теперь использовать условие (4.110), то, пренебрегая величинами можно получить следующее выражение корреляционной функции, характеризующее узкополосный случайный процесс:

(4.111)

где

(4.1126)

Так как спектр низкочастотный, то функции а следовательно, и будут медленно меняющимися функциями переменной по сравнению с «высокочастотным заполнением»

Следовательно, корреляционная функция узкополосного случайного процесса, спектр которого сосредоточен в узкой полосе около частоты представляет осциллирующую (с частотой ) функцию с медленно меняющейся огибающей (рис. 4.9). Если такой спектр считать симметричным относительно центральной частоты то из (4.1426) следует и тогда

(4.113)

где

Здесь рассматривалась функция при и предположение о ее симметрии относительно некоторой частоты в принципе неправомерно, так как ее ветвь при ограничена а при неограничена. Однако продолжение ветви в область при условии (4.110) узкополосности дает погрешность того же порядка, какая была принята допустимой при выводе формулы (4.111).

Интервал корреляции узкополосного процесса можно определить по формуле [ср. (4.71)]

(4.114 а)

Ширина полосы узкополосного спектра [см. (4.86)]

4.4.2. Белый шум.

Рассмотрим теперь предельно широкополосный случайный процесс, спектральная плотность мощности которого сохраняет постоянное значение на всех частотах

(4.115)

Стационарный в широком смысле случайный процесс, имеющий равномерный на всех частотах спектр, называют белым шумом.

Корреляционная функция белого шума

т. е. представляет собой дельта-функцию в начале координат (см. Приложение 1).

Таким образом, белый шум характеризуется тем, что «значения» его в любые два, даже сколь угодно близкие, момента времени некоррелированы. Следует отметить, что понятие белого шума относится только к спектральной картине случайного процесса и оставляет совершенно открытым вопрос о законах распределения. Точнее говоря, распределения вероятностей белого шума в обычном смысле не существует (см. далее п. 5.3.9). Белый шум является идеализацией (математической моделью), не реализуемой в действительных условиях, так как, во-первых, достаточно близкие значения случайного процесса практически всегда зависимы и, во-вторых, реальные процессы имеют конечную мощность, а полная мощность белого шума бесконечна.

Однако, как правило, рассматривают результат прохождения белого шума через линейные системы (см. гл. 6) — так называемые линейные функционалы, распределения которых и определяют в обобщенном смысле тонкую вероятностную структуру белого шума. Вследствие ограниченности полос пропускания радиотехнических устройств использование белого шума в качестве модели процессов на входе этих устройств, которая значительно упрощает математический анализ, не вносит сколько-нибудь существенных погрешностей.

4.4.3. Случайные процессы с дискретным спектром.

Рассмотрим случайный процесс

(4.117)

где — случайные величины, не зависящие от — постоянная частота. В общем случае процесс (4.117) нестационарный. Для того чтобы он был стационарным, по крайней мере, в широком смысле, необходимо выполнение следующих условий. Среднее значение процесса не должно зависеть от времени. Это условие выполняется, если случайные амплитуды центрированы, т. е. . Во вторых, корреляционная функция процесса должна быть функцией одной переменной . Поскольку

то корреляционная функция не будет зависеть от переменной t, если и если случайные величины некоррелированы, т. е. выполнении указанных условий случайный процесс (4.117), представляющей гармоническое колебание со случайной амплитудой и со случайной фазой будет стационарным в широком смысле, а его корреляционная функция

Средний квадрат случайной амплитуды

Как видно из (4.118), корреляционная функция колебания со случайными амплитудой и фазой пропорциональна дисперсии амплитуды и не зависит от каких-либо вероятностных характеристик фазы.

Заметим, что только при предположении о независимости амплитуды и фазы и равномерном распределении последней на интервале ) рассматриваемый процесс удовлетворяет условию стационарности в узком смысле (см. п. 4.2.3).

Хотя интеграл от модуля корреляционной функции (4.118) неограничен, понятие спектральной плотности мощности можно распространить и на рассматриваемый случай, воспользовавшись дальта-функцией (см. Приложение 1). Преобразование Фурье корреляционной функции (4.118)

Этот спектр представляет собой две дискретные линии бесконечной интенсивности на частотах

Рассмотрим теперь случайный процесс, который получается сложением элементарных случайных процессов вида (4.117) и постоянной составляющей

(4.120)

Рис. 4.10. Дискретный спектр

Стационарность в широком смысле этого процесса имеет место при выполнении следующих условий:

При выполнении этих условий корреляционная функция процесса (4.120)

(4.121)

Если то корреляционная функция периодическая с периодом но если частоты не кратны определенной частоте, то эта функция непериодическая (или почти периодическая, как ее иногда называют).

Преобразование Фурье корреляционной функции (4.121), т. е. спектральная плотность мощности процесса (4.120) (рис. 4.10)

Стационарные в широком смысле процессы, спектры которых представляют последовательности спектральных линий (дельтафункций), сосредоточенных на дискретных частотах, называют процессами с дискретным спектром. Величины дают распределение полной мощности по отдельным дискретным частотам а величина — мощность постоянной составляющей.