17.3. КОНТИГУАЛЬНОСТЬ

17.3.1. Определение контигуальности.

Асимптотические свойства статистики логарифма отношения правдоподобия нужно исследовать и при гипотезе (сигнала нет), и при альтернативе К (сигнал присутствует). Оказывается, что многие свойства этой статистики автоматически сохраняются и при гипотезе Я, и при альтернативе К, если использовать понятие асимметрической эквивалентности (контигуальности) последовательности распределений, введенное Ле Камом (см. [52, 53]).

Последовательности распределений называют контигуальными, если для любой статистики сходимость по вероятности для выборки из распределения имеет место тогда и только тогда, когда, для выборки из распределения

Понятие контигуальности выражает близость последовательностей вероятностных мер. Свойство контигуальности транзитивно: если последовательности контигуальны и контигуальны, то последовательности также контигуальны.

Можно доказать (см. [53], § 1.2), что из сходимости двух последовательностей распределений по норме при

следует контигуальность этих последовательностей. Обратное, вообще говоря, неверно, т. е. контигуальность является более слабой мерой близости последовательностей вероятностных мер, чем сходимость по норме

17.3.2. Достаточное условие контигуальности.

Рассмотрим отношение правдоподобия

(17.43)

и пусть - функция распределения статистики (17.43) при гипотезе Н, когда выборка принадлежит распределению

(17.44)

Имеет место следующая лемма (см. [42], с. 256):

Лемма 1. Предположим, что последовательность функций определенных согласно (17.44), при сходится к функции распределения такой, что

(17.45)

Тогда последовательности распределений

(17.46 а)

и

контигуальны.

Если вместо функции ввести функцию распределения логарифма отношения правдоподобия

(17.47)

и если при

(17.47 а)

то, используя замену переменной в (17.45), можно достаточное условие контигуальности записать в виде

(17.48)

Предположим, что функция представляет нормальное распределение с параметрами а, . Тогда из (17.48) находим

(17.48 а)

Равенство (17.48 а) выполняется, если . Таким образомгу как следствие леммы 1 получаем следующее достаточное условие контигуальности: если логарифм отношения правдоподобия при гипотезе асимптотически нормальный с параметрами , то последовательности распределений контигуальны.

17.3.3. Распределение статистик при альтернативе.

Для контигуальных последовательностей распределений имеет место следующее утверждение (см. [53; следствие теоремы 7.1]):

Лемма 2. Если распределение статистики логарифма отношения правдоподобия при гипотезе сходится к нормальному с параметрами то при альтернативе К распределение этой статистики также сходится к нормальному с параметрами

Пусть -векторная статистика размером , которая при гипотезе асимптотически нормальна с параметрами , где В — невырожденная ковариационная матрица размером Пусть и (-последовательности распределений выборки при гипотезе и альтернативе причем распределение ) зависит от -мерного векторного параметра Предположим, что распределение логарифма отношения правдоподобия при гипотезе сходится к нормальному с параметрами — Тогда последовательности распределений контигуальны. Если, кроме того, при гипотезе Н

то имеет место следующая лемма (см. [53, теорема 7.2)]:

Лемма 3. Распределение векторной статистики при альтернативе К сходится к нормальному с параметрами .