11.3. ПЕРЕМНОЖИТЕЛЬ-ФИЛЬТР

10.3.1. Характеристическая функция процесса на выходе фильтра.

Рассмотрим два стационарных и стационарно связанных центрированных гауссовских случайных процесса и корреляционные и взаимные корреляционные функции которых равны соответственно . Произведение этих процессов проходит через линейную систему — фильтр с импульсной функцией h(t).

Случайный процесс на выходе фильтра можно представить в виде интеграла (в среднеквадратическом)

(11.37)

Введем полусумму и полуразность перемножаемых процессов:

(11.386)

Случайные процессы также распределены нормально с нулевыми средними, а их корреляционные и взаимные корреляционные функции

(11.39 а)

Выражая в (11.37) через , получаем

(11.40)

Характеристическая функция процесса на выходе фильтра имеет такой же вид, что и (11.13):

Отличие состоит лишь в том, что собственные числа находятся из системы двух линейных неоднородных интегральных уравнений

(11.41 а)

Если уравнение (11.416) исчезает, а (11.41 а) совпадает с (11.8), как и должно быть, так как при указанном условии рассматриваемая задача совпадает с определением распределения квадрата стационарного гауссовского случайного процесса, прошедшего через фильтр.

11.3.2. Распределение произведения гауссовских процессов.

Решение системы интегральных уравнений (11.41 а, б) связано, в общем, со значительными трудностями. В одном частном случае решение можно достаточно просто получить в замкнутом виде. Как и в § 11.2, это будет тогда, когда частотная характеристика фильтра равномерная на всех частотах и, следовательно, импульсная функция фильтра . Тогда уравнения (11.41 а,б) переходят в систему алгебраических уравнений

(11.426)

Так как эти уравнения должны удовлетворяться при любом z, то, полагая , получаем

откуда

(11.43)

Обозначим

Тогда из (11.39 а-г) следует

(11.44 а)

Подставляя (11.44 а-в) в (11.43), получаем квадратное уравнение относительно величины

корни которого

(11.45)

Первый корень положительный, а второй отрицательный, так как [см. (4.73)].

Подставляя (11.45) в (11.41), находим характеристическую функцию произведения двух зависимых стационарных гауссовских случайных процессов:

(11.46)

Обратным преобразованием Фурье функции (11.46) получаем одномерную плотность вероятности этого произведения [ср. (1) в задаче 3.1]

(11.47)

где — функция Бесселя 2-го рода нулевого порядка от мнимого аргумента.