2.3.2. Многомерная плотность вероятности.

Смешанная производная порядка от -мерной функции совместного распределения

называется -мерной плотностью вероятности совокупности случайных величин

В векторной форме (2.39 а) можно переписать в виде

(2.396)

Многомерная плотность вероятности векторной случайной величины обладает свойствами, аналогичными свойствам плотности скалярной случайной величины:

где — -мерное эвклидово пространство.

Многомерная функция совместного распределения выражается через многомерную плотность при помощи интеграла

где — область -мерного эвклидова пространства, определяемая системой неравенств .

Дифференцируя обе части (2.37 а) по переменным получаем

Таким образом, по известной -мерной плотности вероятности всегда можно определить плотность вероятности любой группы случайных величин путем интегрирования в бесконечных пределах по остальным переменным.

Обратное, вообще говоря, неверно, т. е. по многомерным плотностям частей совокупности случайных величин нельзя найти плотность вероятностей всей совокупности. Исключение из этого общего правила составляет совокупность совместно независимых случайных величин, для которой (см. (2.38))