Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
21.4. НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ21.4.1. Постановка задачи.В § 21.3 рассматривались оценки сигнала на фоне помехи, получаемые линейной фильтрацией наблюдаемой реализации, и определялись характеристики линейных фильтров, оптимальных по критерию минимума среднего квадрата ошибки. Если отказаться от условия линейности алгоритма обработки наблюдаемой реализации, то в более широком классе допускаемых оценок можно, вообще говоря, получить оценки, которые по заданному критерию минимума среднего квадрата ошибки будут лучше линейных оценок. Из результатов, приведенных в п. 14.6.3, следует, что в общем случае оптимальной по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценкой сигнала
где За исключением гауссовских процессов Один из подходов к решению задачи оптимальной нелинейной фильтрации состоит в ограничении класса исследуемых процессов марковскими или их компонентами. При таком ограничении удается преодолеть трудности, связанные с вычислением апостериорной плотности оцениваемого процесса. После этого можно получить оценку по критерию минимума среднего квадрата ошибки. Вопросу нелинейной фильтрации марковских случайных процессов посвящена основополагающая работа [67] (см. также [68]). Рассмотрим другой подход, основанный на аппроксимации нелинейного функционала 21.4.2. Представление оценки сигнала рядом Вольтерра.При линейной фильтрации связь между оценкой сигнала
Если 21.4.3. Оптимальная нелинейная коррекция второго порядка.Пусть Примем в качестве оценки
где Оценка (21.138) отличается от линейной наличием нелинейного слагаемого. К оценке, оптимальной в классе линейных фильтров, добавляется корректирующее слагаемое за счет использования нелинейности. Для формирования оценки (21.138) использована простейшая нелинейная система — фильтр второго порядка. Задача состоит в том, чтобы определить характеристику
был минимальным. Обозначим через
Ошибка
Из (21.138) и (21.139) находим дисперсию ошибки
где с учетом стационарности сигнала и помехи
а Из (21.141) следует, что при использовании в качестве устройства оценки нелинейного фильтра второго порядка средний квадрат ошибки оценки зависит уже не только от корреляционных функций процессов Используем тот же прием, что и в п. 21.3.2; можно доказать, что при заданных смешанных моментах процессов до четвертого порядка включительно наилучшая (в смысле принятого критерия минимума среднего квадрата ошибки) нелинейная фильтрация второго порядка сигнала из аддитивной смеси с помехой реализуется при условии, что ядро
Минимальное значение дисперсии ошибки
или
где
— минимальная дисперсия ошибки линейной оценки [см. (21.95)]. Таким образом, использование оптимального нелинейного корректирующего звена в фильтре второго порядка позволяет дополнительно уменьшить дисперсию ошибки на
21.4.4. Оптимальный фильтр второго порядка.Рассмотрим задачу об оптимальном фильтре второго порядка, отказавшись от предположения, что линейная часть оценки (21.138) задана. Найдем совместно две функции Подставляя (21.138) в (21.138 а), находим выражение функционала
Тем же приемом, который применялся ранее, можно показать, что дисперсия ошибки минимальна при использовании такого нелинейного фильтра второго порядка, ядра которого удовлетворяют следующей системе двух интегральных уравнений:
Заметим, что для независимых сигналов 21.4.5. Оптимальный фильтр произвольного порядка.Оценку сигнала по наблюдаемой реализации аддитивной смеси сигнала с помехой можно Сделать более точной, используя нелинейные фильтры более высокого порядка. При фильтре
При этом возможны две постановки задачи. Можно попытаться отыскать такую последовательность ядер
Эта задача сводится к решению системы Менее общая постановка, приводящая к обозримому результату, аналогична той, которая формулировалась в начале п. 21.4.3. Предположим, что Обозначим через
Тогда из (21.153) находим
где
а Следуя применявшемуся выше приему, нетрудно убедиться, что оптимальная по критерию минимума дисперсии ошибки нелинейная фильтрация
При При использовании нелинейного фильтра
При Уравнение (21.157) позволяет найти характеристику оптимальной корректирующей нелинейности Заметим, что, как и в теории оптимальной линейной фильтрации, изложенную методику можно использовать и для описания более широкого класса нестационарных процессов 21.4.6. Фильтрация гауссовского сигнала на фоне гауссовской помехи.До сих пор не делалось никаких специальных предположений о распределении вероятностей сигнала и помехи. Допустим, что сигнал и помеха — гауссовские случайные процессы. Тогда нетрудно убедиться, что добавлением нелинейных элементов к оптимальному линейному фильтру нельзя уменьшить дисперсию ошибки. Как уже показано, нелинейная фильтрация Докажем теперь, что добавление нелинейного элемента произвольного порядка также не уменьшает дисперсию ошибки. Пусть
где
Как было указано, для гауссовских случайных процессов
Таким образом, наилучшая фильтрация гауссовского сигнала из аддитивной смеси с гауссовской помехой осуществляется оптимальным линейным фильтром, импульсная характеристика которого определяется из интегрального уравнения (21.94). Этот результат обобщается и на нестационарные процессы. 21.4.7. Интерпретация нелинейных фильтров.Изложенный метод оптимальной нелинейной фильтрации по критерию минимума дисперсии ошибки основан на использовании аппроксимации непрерывного функционала последовательностями вида (21.152). При этом фильтр
|
1 |
Оглавление
|