18.3. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ КОРРЕЛИРОВАННОЙ ПОМЕХИ

18.3.1. Синтез алгоритма.

Рассмотрим задачу обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной -связной марковской помехи. Используем исследованные в п. 17.4.3 асимптотические свойства достаточной статистики логарифма отношения правдоподобия. Если выполнены условия теоремы 3, то асимптотически оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной -связной марковской помехи имеет следующий вид [см. (17.68)]:

(18.47)

где — компоненты вектора f [см. (17.30)].

Предельное (при ) распределение статистики -нормальное с параметрами при гипотезе Н (сигнала нет) и с параметрами при альтернативе К (сигнал присутствует), где

(18-48)

— элементы матриц и Q, определенные в (17.32) и (17.66).

18.3.2. Анализ алгоритма. Предельное значение порога с в (18.47)

а предельная рабочая характеристика алгоритма (18.47)

(18.50)

При фиксированных значениях вероятностей а ложной тревоги и правильного обнаружения, а также величины минимально необходимая (пороговая) амплитуда сигнала

(18.51)

Определим КАОЭ алгоритма (18.47) по отношению к линейному алгоритму

(18.52)

где вектор равен — корреляционная матрица помехи, когда этот линейный алгоритм используется для обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной -связной марковской помехи.

Как показано в п. 15.1.5 алгоритм (18.52) обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной коррелированной гауссовской помехи оптимальный по критерию Неймана — Пирсона для любого размера выборки.

Статистика в (18.52) при гауссовской помехе распределена нормально с параметрами при гипотезе Н и при альтернативе К, где . Величина определяется по формуле:

(18.53)

Рабочая характеристика алгоритма (18.52)

(18.54)

где

(18.55)

При неограниченном увеличении размера выборки распределение статистики остается нормальным с ограниченными средними значениями и дисперсиями при гипотезе и альтернативе, если только

(18.56)

Предельная рабочая характеристика получается из (18.54) заменой параметра его предельным значением

(18.57)

Из (18.50) и (18.54) с учетом (18.57) находим КАОЭ алгоритма (18.47) по отношению к линейному алгоритму (18.52):

(18.58)

18.3.3. Структурная схема алгоритма. Алгоритм (18.47) (рис. 18.7) предписывает следующую последовательность операций:

Рис. 18.7. Схема асимптотически оптимального обнаружителя сигнала на фоне многосвязной марковской помехи

1) накопление k выборок значений сигнальной функции

2) наблюдение в момент времени выборки

3) вычисление компонент вектора

4) вычисление корреляционной суммы

5) наблюдение в момент времени выборки

6) повторение операций 3 и 4 при

7) повторение операций 3 и 4 после наблюдения

8) суммирование корреляционных сумм;

9) сравнение результата суммирования с порогом;

10) принятие решения.

Обнаружитель сигнала состоит из четырех блоков: инерционного нелинейного преобразователя наблюдаемых выборок, состоящего из линии задержки («память») -канального спецвычислителя компонент вектора коррелометра К, в котором выполняются операции перемножения выходных значений спецвычислителя со значениями сигнальной функции s и суммирования полученных произведений; накопителя корреляционных сумм и сумматора накопленных значений в конце наблюдения; устройства сравнения с порогом. От вида распределения помехи зависят только характеристика инерционного нелинейного преобразователя и величина порога.

18.3.4. Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной односвязной марковской помехи.

Рассмотрим частный случай алгоритма (18.47), когда и плотность вероятности перехода равна . В этом случае асимптотически нормальная статистика

(18.59)

где

(18.596)

Пр исипотезе H среднее значение статистики (18.59) равно нулю, а дисперсия

Но в соответствии с (17.67)

Поэтому

При

(18.61)

где

(18-616)

Обозначая

(18.62)

перепишем (18.61) в виде

(18.63)

В рассматриваемом случае односвязной марковской помехи [см. (18.58)] КАОЭ алгоритма (18.47) по отношению к линейному (18.52)

(18.64)

где

(18.64)

и К — корреляционная матрица марковской помехи размером

18.3.5. Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне Т-зависимой помехи.

Предположим, что наблюдаемая реализация представляет либо Г-зависимую помеху (гипотеза Н), либо аддитивную смесь этой помехи с детерминированным сигналом (гипотеза К). Если реализация подвергается временной дискретизации через интервал то из зависимых скалярных выборок можно сформировать независимых -мерных векторных выборок где , и моменты определяются согласно (16.82).

Из теоремы 2 (см. п. 17.4.2) непосредственно следует, что в рассматриваемом случае асимптотически достаточной является векторная статистика с компонентами

(18.65)

где

— многомерная плотность распределения помехи.

Предельное при распределение статистики нормальное с параметрами при гипотезе и при альтернативе К (см. п. 17.4.2).

Рассмотрим статистику

(18.66)

которая представляет скалярное произведение вектора постоянных весовых коэффициентов и векторной статистики . Статистика (18.66) асимптотически нормальна с нулевым средним и дисперсией при гипотезе Н и с параметрами при альтернативе где Q — матрица с элементами

(18.67 а)

причем величины определяются согласно (17.60), a -матрица с элементами

(18.676)

Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной Г-зависимой помехи запишем в виде

(18.68)

где порог с определяется по формуле (18.49), а рабочая характеристика алгоритма — по формуле (18.50), если в этих формулах матрицу Q заменить матрицей Q [см. (18.67 а)], а элементы информационной матрицы вычислять согласно (18.676).

Коэффициент асимптотической оптимальной эффективности алгоритма (18.68) по отношению к линейному (18.52) определяется по формуле (18.58) с указанной очевидной заменой матриц

Так как вектор весовых коэффициентов с не ограничивался никакими условиями, то можно нйти оптимальный вектор для которого КАОЭ максимален.

Другой подход к редукции векторной статистики для синтеза асимптотически оптимального алгоритма обнаружения сигнала на фоне Г-зависимой помехи, который состоит в формировании скалярной статистики из каждой векторной выборки (см. п. 16.3.2), приведен в [57].