20.4. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ РАЗЛИЧЕНИЯ СИГНАЛОВ

20.4.1. Основные положения.

Асимптотический принцип синтеза алгоритмов, рассмотренный в гл. 17 и 18 применительно к задачам обнаружения сигнала, можно использовать и для синтеза асимптотически оптимальных дискретно-аналоговых алгоритмов различения сигналов на фоне помех с произвольным распределением вероятностей.

Предположим, что в результате временной дискретизации наблюдаемой реализации случайного процесса на входе приемника получена выборка размером

(20.110)

Выборку значений сигнала в моменты времени запишем в виде

(20.111)

причем [ср. (17.1)]

(20.112)

Для состоятельного алгоритма различения сигналов вероятность правильного решения при если (см., например, (20.34) при Ограничение (20.112), при котором когда позволяет, как и в задачах обнаружения сигнала, синтезировать алгоритмы различения, асимптотически несингулярные.

Назовем последовательность алгоритмов различения сигналов асимптотически оптимальной, если для любой другой последовательности

(20.113)

Для асимптотически оптимального алгоритма различения сигналов при условии (20.112) существует отличный от единицы и нуля предел

(20.113 а)

Синтез асимптотически оптимальных алгоритмов различения сигналов на фоне помех основан на исследовании асимптотических свойств логарифмов отношений правдоподобия (20.126). Для этого можно непосредственно воспользоваться результатами, приведенными в гл. 17, 18, если представить выражение (20.12 б) в

(20.114)

где

(20.115)

— функция правдоподобия помехи.

20.4.2. Асимптотически оптимальный алгоритм различения детерминированных сигналов на фоне аддитивной независимой помехи.

Запишем асимптотическое разложение статистики определенной согласно (20.115), опустив член, который при сходится по вероятности к нулю [см. (17.58), (18.3) ]:

(20.116)

где

(20.117)

и — информация по Фишеру о помехе [см. (17.22)].

Распределение статистики (20.116) при асимптотически нормальное с параметрами

(20.120 а)

где

(20.120 б)

и

Из (20.14) и (20.116) следует, что при использовании независимой выборки асимптотически оптимальный алгоритм различения сигналов на фоне аддитивной помехи можно представить следующим образом: принимается решение, что передан сигнал если

(20.121)

Для равновероятных сигналов одинаковой нормированной мощности алгоритм (20.121) существенно упрощается и сводится к сравнению статистик (20.117) с выбором наибольшего значения

(20.122)

В этом случае структурная схема устройства различения сигналов проста и состоит из безынерционного преобразователя выборочных значений с характеристикой [см. (20.118)], дискретных корреляторов К и блока сравнения с выбором максимума (рис. 20.4).

Рис. 20.4. Схема асимптотически оптимального алгоритма различения детерминированных сигналов

Для определения вероятности правильного решения можно использовать формулу (20.26), в которой область выборочного пространства определяется соотношением (20.122). При этом следует учесть, что распределение статистики (20.177), как и статистики (20.116), асимптотически нормальное, а параметр в формулах п. 20.2.3 заменяется величиной Таким образом, получаем следующее выражение вероятности правильного решения:

(20.123)

где определяется согласно (20.117) и усреднение происходит по распределению помехи. Если — выборка независимой помехи, то случайные величины

(20.124)

подчиняются асимптотически нормальному распределению с нулевыми средними и ковариациями

или

(20.125)

Тогда вероятность правильного решения можно вычислить по формуле (20.33), в которой элементы матрицы определяются согласно (20.125), а параметр

Если различаемые сигналы ортогональны, то и матрица становится единичной. В этом случае вероятность правильного решения [см.

(20.126)

где — интеграл Лапласа.

20.4.3. Асимптотически оптимальный алгоритм различения модулированных гармонических сигналов со случайными фазами на фоне аддитивной независимой помехи.

Предположим, что различаемые нормированные сигналы представляют модулированные колебания вида

(20.127)

где — заданные медленно изменяющиеся по сравнению с функции времени, фиксированные частоты и — совокупность независимых начальных фаз, каждая из которых распределена равномерно на интервале Допустим также, что априорные вероятности появления сигналов и их мощности одинаковы.

Пусть — независимая выборка заданного размера , полученная путем временной дискретизации наблюдаемой реализации аддитивной смеси сигнала и помехи, — векторная выборка значений сигнала [см. (20.110), (20.111)]. На основе этих выборок определим следующие статистики:

(20.128)

где

(20.129)

функция определена согласно (20.118).

Используя результаты, приведенные в п. 18.4.4, при выполнении условия (20.112) и по аналогии с (20.122) получаем следующий асимптотически оптимальный алгоритм различения квазидетерминированных сигналов (20.127) на фоне аддитивной независимой помехи: принимается решение, что передан сигнал если

(20.132)

Компоненты асимптотически нормальны, независимы, а их дисперсии одинаковы и равны мощности сигнала:

(20.133)

Результаты, приведенные в § 17.4, 18.3 и 18.5, можно использовать и для синтеза асимптотически оптимальных алгоритмов различения сигналов на фоне коррелированных помех, которые здесь не рассматриваются.