20.2. РАЗЛИЧЕНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ АДДИТИВНОЙ ГАУССОВСКОЙ ПОМЕХИ

20.2.1. Оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм различения.

Предположим, что передаваемые сигналы детерминированы, а помеха в канале связи—аддитивная центрированная гауссовская помеха с известной корреляционной функцией. Наблюдаемая на входе приемника на интервале (0, Т) реализация смеси сигнала с помехой подвергается временной дискретизации, в результате которой получаем векторную выборку заданного размера [см. (20.3)]. Эта выборка представляет векторную гауссовскую случайную величину с вектором средних [см. 20.4 а)], если верна гипотеза (передан сигнал ), и с одинаковой для всех гипотез корреляционной матрицей К [см. (20.46)].

Из (20.11), учитывая (20.4), находим оптимальный по критерию максимума апостериорной вероятности дискретно-аналоговый алгоритм различения детерминированных сигналов на фоне аддитивной гауссовской помехи. Принимается решение о том, что передан сигнал , если

(20.15)

Обозначим величины, зависящие только от априорных данных, аналогично тому, как это сделано в п. 15.5.1:

(20.16)

и перепишем (20.15) более компактно:

(20.18)

Для равновероятных сигналов и одинаковых для всех сигналов величин оптимальный алгоритм различения сводится к определению максимального скалярного произведения

(20.19)

Итак, рассмотренное оптимальное правило различения сигналов основано на формировании из векторной выборки и вектора строки (матрицы размером ) векторной достаточной статистики

(20.20)

с последующим сравнением компонент этой статистики (или разностей ) для определения максимальной.

Если — выборка помехи, то статистика векторная гауссовская случайная величина с нулевым вектором средних значений и ковариационной матрицей размером элементы которой равны

Если после временной дискретизации наблюдаемой реализации получена независимая выборка, то корреляционная матрица , где — дисперсия помехи, I — единичная (диагональная) матрица. В этом случае из (20.16) следует и из (20.19), (20.20), опуская постоянный множитель получаем векторную достаточную статистику

(20.21)

где

Компоненты такой статистики представляют скалярные произведения сигнальных и выборочных векторов

(20.22)

Из (20.17) находим, что в рассматриваемом случае

(20.23)

Заметим, что каждая из статистик (20.19) аналогична достаточной статистике (15.25) при обнаружении детерминированного сигнала на фоне аддитивной коррелированной гауссовской помехи, а каждая из статистик (20.20) аналогична достаточной статистике (15.10) при обнаружении на фоне независимой гауссовской помехи. При этом параметры совпадают (при фиксированном сигнале) с соответствующими параметрами рабочей характеристики обнаружения [см. (15.31) и (15.20)].

20.2.2. Структурная схема оптимального дискретно-аналогового алгоритма различения.

Учитывая отмеченную аналогию достаточных статистик в задачах обнаружения и различения сигналов на фоне аддитивной гауссовской помехи, нетрудно представить структурную схему оптимального алгоритма (20.18) (см. п. 15.1.5 и рис. 15.4). Как показано на рис. 20.2, устройство, реализующее алгоритм (20.18) состоит из набора цифровых фильтров с испульсными характеристиками с (15.33)]

(20.24)

Когда на входы фильтров поступают выборочные значения, на их выходах в конце наблюдения формируются статистики (20.19). После вычитания констант [см. (20.17)] все статистики поступают в устройство сравнения (компаратор), выбирающее максимальное значение, которое и определяет принятие решения в соответствии с алгоритмом (20.18). Если , то операция вычитания в схеме (20.2) опускается и значения статистик с выходов фильтров непосредственно поступает в блок сравнения.

Рис. 20.2. Схема алгоритма различения сигналов

При независимой выборке импульсная харатеристика фильтра [ср. с. (15.23)]

(20.25)

т. е. согласованный [с сигналом ] цифровой фильтр.

20.2.3. Вероятность правильного решения.

Примем за рабочую характеристику оптимального алгоритма различения сигналов |20.18) зависимость вероятности правильного решения от априорных данных. Ограничимся анализом этой характеристики для равновероятных сигналов и одинакового для всех сигналов параметра [см. (20.17)]. Из (20.8), (20.4) находим

(20.26)

где — область выборочного пространства определяемая соотношением [см. (20.18)]

(20.27)

После несложных преобразований находим из (20.26)

(20.28)

причем усреднение происходит по распределению гауссовской помехи.

Используя (20.19), введем нормированные случайные величины

(20.29)

Если выборка принадлежит гауссовской помехе, то случайные величины (20.29) подчиняются нормальному распределению с нулевыми средними значениями и ковариациями

(20.30)

которые представляют нормированные билинейные формы сигнальных значений

(20.30 а)

с коэффициентами, являющимися элементами обратной корреляционной матрицы помехи.

Функция распределения случайной величины

(20.31)

где - многомерная плотность нормального распределения вероятностей с нулевым вектором средних и корреляционной матрицей Из (20.31) следует

(20.32)

где

Используя (20.28), (20.29) и (20.32), находим

(20.33)

Когда в (20.33) интегрирование по переменным разделяется и тогда вероятность правильного решения

(20.34)

где - интеграл Лапласа. В этом случае вероятность правильного решения, как и рабочая характеристика обнаружения сигнала (см. п. 15.1.6), полностью определяется единственным параметром

20.2.4. Синтез оптимального дискретно-аналогового алгоритма различения сигналов при фильтровом способе дискретизации.

В п. 20.2.1. при синтезе оптимального алгоритма использовалась мгновенная дискретизация реализации в фиксированные моменты времени. Как отмечалось в п. 15.1.7, можно использовать другой — фильтровой — способ дискретизации, при котором элементы выборки (координаты) оказываются некоррелированными, а для гауссовской помехи — независимыми.

Оставим обозначение для векторной выборки, ее компоненты, полученные фильтровым способом, представляют совокупность независимых гауссовских случайных величин, причем

(20.35)

— собственные числа, - ортонормированная совокупность собственных функций интегрального уравнения (15.38). Функция определяет импульсную характеристику линейного фильтра, на выходе которого в конце интервала наблюдения выделяется координата реализации (см. (15.39) и рис. 15.6).

Из (20.35) — (20.37) находим функцию правдоподобия выборки независимых координат при гипотезе

(20.38)

Используя (20.38) и повторяя рассуждения в той же последовательности, что и в п. 20.2.1, получаем следующее оптимальное по критерию максимальной апостериорной вероятности правило различения детерминированных сигналов на фоне аддитивной гауссовской помехи: принимается решение, что передан сигнал если

(20.39)

где

(20.40)

При равновероятных сигналах и при

оптимальный алгоритм различения (20.39) состоит в определении максимума (по индексу ) величины

(20.41)

Структурная схема алгоритма (20.30) не отличается от изображенной на рис. 20.2, но при иной интерпретации обозначений:

х — выборка размером N, полученная фильтровым способом (см. рис. 15.6); - линейный цифровой фильтр, импульсная характеристика которого определяется «сигнальными» координатами (20.36). по формуле, аналогичной (20.25); — константы, вычисляемые по (20.40).

Вероятность правильного решения при использовании алгоритма (20.39) для равновероятных сигналов и фиксированного значения определяется по формуле (20.34) с подстановкой вместо параметра [см. (20.40 а)].

Как уже отмечалось в п. 15.1.8, не следует отождествлять алгоритм для мгновенной дискретизации при независимой выборке с алгоритмом для фильтровой дискретизации при коррелированной выборке. Независимая выборка при мгновенной дискретизации отличается от выборки независимых координат, а детерминированные величины в (20.36) отличаются от сигнальных значений, определяемых согласно (20.4 а), так как «сигнальная» координата зависит не только от сигнала , но и от корреляционной функции помехи, которая служит ядром интегрального уравнения (15.38).

Соображения, приведенные в п. 15.1.9 при сопоставлении дискретно-аналоговых алгоритмов обнаружения сигналов, использующих различные способы дискретизации наблюдаемой реализации можно отнести и к рассмотренным дискретно-аналоговым алгоритмам различения сигналов.

20.2.5. Оптимальный аналоговый алгоритм различения сигналов.

Как указано в п. 20.1.4, оптимальный по критерию максимума апостериорной вероятности аналоговый алгоритм различения сигналов формируется из (20.14) подставкой вместо логарифмов отношений правдоподобия логарифмов функционалов отношения правдоподобия. Полученное в п. 15.2.2 выражение для логарифма функционала отношения правдоподобия для случая различения двух детермированных сигналов на фоне аддитивной гауссовской помехи очевидным образом обобщается на случай произвольного числа сигналов.

Для сигнала логарифм функционала отношения правдоподобия

(20.42)

где - решение неоднородного интегрального уравнения

(20.43)

Статистика (20.42) представляет линейный функционал гауссовского случайного процесса — случайную величину, распределенную по нормальному закону с параметрами

(20.44)

Регулярный случай имеет место, если величины, определяемые формулой (20.44), ограничены.

Используя (20.2), получаем следующий оптимальный аналоговый алгоритм различения детерминированных сигналов на фоне аддитивной гауссовской помехи: принимается решение о том, что передан сигнал если

(20.45)

где

(20.46)

Структура аналогового алгоритма (20.45) аналогична структурам дискретно-аналоговых алгоритмов (20.18) и (20.39). Весовые коэффициенты при линейной обработке выборки заменяются весовой функцией при линейной обработке непрерывной реализации, причем эти весовые функции, как и указанные весовые коэффициенты, зависят от вида сигналов и от корреляционной функции помехи.

Указанная аналогия распространяется и на структурную схему аналогового алгоритма (20.45), которая получается из структурной схемы, изображенной на рис. 20.2, иной интерпретацией элементов этой схемы. Блок на входы которых поступает наблюдаемая реализация представляет аналоговые линейные фильтры с импульсными характеристиками

Константы вычисляются по формуле (20.46).

Если сигналы равновероятны, а величины одинаковы для всех сигналов, то из (20.45) следует

(20.49)

т. e. блоки вычитания констант в схеме на рис. 20.2 отсутствуют.

Вероятность правильного решения в этом случае определяется по формуле (20.33), в которой параметр заменяется величиной , а элементы матрицы определяются по формуле

(20.50)

20.2.6. Различение детерминированных сигналов на фоне белого гауссовского шума.

Корреляционная функция белого шума со спектральной плотностью равна [см. (4.116)]. В этом случае использование фильтрующего свойства дельта-функцйи позволяет очень просто найти решение интегрального уравнения (20.43):

(20.51)

Подставляя (20.51) в (20.45), получаем оптимальный аналоговый алгоритм различения сигналов на фоне аддитивного белого гауссовского шума: принимается решение о том, что передан сигнал если

где определяется по формуле (20.46), в которой параметр

(20.53)

т. e. равен отношению энергии сигнала на интервале наблюдения к спектральной плотности белого шума.

Для равновероятных сигналов одинаковой энергии соотношение (20.52) перепишется в виде

(20.54)

Корреляционный интеграл определяется на выходе согласованного с сигналом аналогового фильтра (см. п. 15.3.4), поэтому блоки на структурной схеме алгоритма (рис. 20.2) представляют согласованные фильтры.

При использовании алгоритма (20.54) вероятность правильного решения вычисляется по формуле (20.33), где параметр заменяется величиной , а элементы матрицы

(20.55)

Для ортогональных сигналов и тогда [см. (20.34)]

Если , то

Можно доказать (см., например, [44]), что временной коэффициент взаимной корреляции сигналов не может быть меньше — и, следовательно, максимальная вероятность правильного решения

(20.56 б)

При различении двух сигналов одинаковой энергии Е минимальное значение соответствует противоположным сигналам а в соответствии с (20.566) при вероятность правильного различения таких сигналов на фоне белого гауссовского шума

(20.56 в)