4.6. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЫБРОСОВ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

4.6.1. Среднее число пересечений.

Рассмотрим дифференцируемый (по меньшей мере) по вероятности (см. п. 4.5.3) случайный процесс Вероятность пересечения случайным процессом заданного уровня снизу вверх (т. е. с положительной производной) в достаточно малом интервале времени совпадает с вероятностью неравенств

Пусть - двумерная плотность вероятности процесса и его производной в совпадающий момент времени t. Тогда указанная вероятность

При достаточно малом внутренний интеграл можно заменить выражением и тогда

(4.173)

где

(4.174)

Разобьем теперь интервал времени на N неперекрывающихся малых интервалов промежуточными точками . Для каждого из указанных интервалов времени определим случайную величину равную единице, если на интервале пересекает уровень с положительной производной, и нулю, если такого пересечения не происходит. Эти случайные величины являются своеобразными счетчиками пересечений. Ясно, что общее число пересечений на интервале равно Предполагается, что столь мало, что вероятностью более одного пересечения можно пренебречь. Так как вероятность того, что определяется по формуле (4.173), то среднее значение числа пересечений с положительной производной уровня на указанном интервале

Переходя к пределу при , находим среднее число пересечений уровня с положительной производной на интервале

(4.175)

Среднее значение числа пересечений с положительной производной уровня в единицу времени

(4.176)

Для стационарного случайного процесса его совместное распределение с производной в совпадающие моменты времени не зависит от f, и среднее число пересечений с положительной производной уровня в единицу времени постоянно и равно

(4.177)

Аналогично находим среднее значение числа пересечений уровня сверху вниз (т. е. с отрицательной производной) на интервале

(4.178)

где

(4.179)

Однако в силу четности по переменной у совместного распределения процесса и его производной в совпадающие моменты времени

(4.180)

и, следовательно,

(4.181)

Для стационарного случайного процесса

(4.182)

Среднее значение в единицу времени общего числа пересечений

(4.183)

4.6.2. Средняя длительность выбросов случайного процесса.

Для решения многих практических задач необходимы вероятностные характеристики длительностей выбросов случайного процесса где под длительностью выброса понимается отрезок времени, в течение которого превышает заданный уровень . Наряду с этим представляет интерес длительность интервала между выбросами (отрицательного выброса), т. е. отрезок времени, в течение которого не превышает заданный уровень (рис. 4.12).

Нетрудно определить среднее значение длительности выброса над уровнем эргодического случайного процесса. Рассмотрим относительное время пребывания реализации этого случайного процесса над уровнем за время Т. Согласно эргодическому свойству [см. (4.33)] при больших значениях Т эта величина приближается к и, следовательно суммарное время пребывания процесса над уровнем асимптотически приближается к где -одномерная функция распределения случайного процесса За достаточно длительное время Т общее число интервалов, на которых равно среднему числу выбросов за это время, т. е. равно Среднее значение длительности выбросов

(4.184)

Подобным же образом получаем выражение для средней длительности интервалов между выбросами эргодического случайного процесса

(4.185)

Рис. 4.12. Выбросы случайного процесса

Отметим, что среднее число выбросов совпадает со средним числом пересечений случайным процессом заданного уровня с положительной (или с отрицательной производной [см. (4.176) и рис. 4.12].

4.6.3. Экстремумы случайного процесса.

Пусть — непрерывный, дважды дифференцируемый по вероятности случайный процесс. Вероятность того, что на достаточно малом интервале случайная функция будет иметь максимум, величина которого попадает в интервал совпадает с вероятностью неравенств

Если - трехмерная плотность вероятности процесса и его первых двух производных в совпадающие моменты времени t, то эта вероятность при достаточно малом

(4.186)

где

(4.187)

Формула (4.186) определяет также среднее число максимумов на интервале значение которых заключено между Среднее число максимумов указанной величины в единицу времени равно , а для стационарного процесса

Для стационарного процесса среднее число максимумов в единицу времени, значение которых превышает ,

(4.188)

а среднее число максимумов любой величины

где — совместное распределение первой и второй производных процесса.

Отношение представляет плотность вероятности максимумов.

Аналогично (4.196) вероятность того, что на достаточно малом интервале случайная функция будет иметь минимум, значение которого попадает в интервал

(4.189)

где

(4.190)

Формула (4.189) определяет также среднее число минимумов на интервале значение которых заключено между . Среднее число минимумов указанного значения в единицу времени равно а для стационарного процесса

Для стационарного процесса среднее число минимумов в единицу времени, значение которых превышает

(4.191)

а среднее число минимумов любого значения

Отношение представляет плотность вероятности минимумов.

Из (4.188 а) и (4.191 а) следует, что среднее число экстремумов стационарного случайного процесса

(4.192)