Глава 3. ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

3.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ

3.1.1. Постановка задачи.

Решение очень многих практических задач радиотехники, связи и управления сводится к определению по заданной плотности распределения случайных величин плотности распределения другой совокупности случайных величин, получаемой из первой детерминированным функциональным преобразованием.

Рассмотрим исходную совокупность случайных величин для которой известна совместная плотность вероятности . Зададим закон преобразования этой совокупности системой детерминированных функций

При помощи этих функций из исходной совокупности случайных величин получают случайных величин

Необходимо определить плотность вероятности случайных величин .

Заметим, прежде всего, что решение сформулированной задачи при всегда получается из решения симметричной задачи при Если то совокупность (3.2) дополняется случайными величинами ; решается задача при равном числе исходных и преобразованных случайных величин, а искомая плотность находится интегрированием по переменным . Если , то случайные величины связаны функциональными зависимостями с . Тогда искомая плотность

3.1.2. Монотонное преобразование одной случайной величины.

Рассмотрим сначала простейшую задачу, сформулированную в п. 3.1.1. Задана плотность вероятности случайной величины и необходимо определить плотность вероятности случайной величины Предположим, что функция дифференцируема и преобразование монотонное, т. е. существует единственная обратная функция

Если и следовательно, то события и эквивалентны. Поэтому

откуда следует

Дифференцируя обе части последнего равенства по у, получаем

Аналогично при , т. е. при из эквивалентности событий следует и

Объединяя равенства (3.4а и б), получаем

Рис. 3.1. Преобразование плотности вероятности при монотонном преобразовании случай ой величины

Полезно привести наглядную геометрическую интерпретацию вывода формулы (3.5) (рис. 3.1). Так как преобразование монотонное, то события эквивалентны. Вероятность события А равна площади , а вероятность события В — площади При достаточно малых Переходя к пределу при получаем

Но при правая часть последнего равенства становится отрицательной, что невозможно, поскольку функция плотности положительна. Поэтому для общего случая следует брать

модуль производной, как в формуле (3.5). Появление модуля производной при указанном выводе формулы (3.5) не будет казаться «подгонкой», если придать интервалам знак (направление). В дальнейшем при обобщении формулы (3.5) будет использован геометрический подход.

Заметим также, что совместная плотность вероятности случайных величин [см. (3.3)]

откуда следует

Используя фильтрующее свойство дельта-функции, приходим к формуле (3.5).

3.1.3. Линейное преобразование случайной величины.

При линейном преобразовании обратное преобразование и в соответствии с (3.5)

Из (3.6) следует, что при линейном преобразовании плотность вероятности исходной случайной величины смещается на значение b (вправо или влево в зависимости от знака b) сжимается или растягивается вдоль оси в а раз (возможно, с зеркальным отображением относительно оси ординат, если ) и сжимается или растягивается вдоль оси у в раз.

Например, при линейном преобразовании стандартной гаус совской случайной величины получаем гауссойскую случайную величину, плотность вероятности которой Согласно (3.6) (рис. 3.2)

причем

3.1.4. Немонотонное преобразование одной случайной величины.

Предположим теперь, что преобразование немонотонное. В этом случае данному значению у соответствует несколько (возможно, счетное число, если -периодическая) значений аргумента , т. е. обратная функция имеет несколько ветвей. Обозначим их через Тогда событие эквивалентно объединению несовместимых событий и, следовательно,

При достаточно малых ,

Подставляя (3.86) в (3.8 а) и переходя к пределу при получаем с учетом замечания о модуле производной

3.1.5. Квадратичное преобразование случайной величины.

При квадратичном преобразовании каждому значению соответствуют два значения . Тогда в (3.9) сумма содержит два слагаемых. Так как , то получаем следующее выражение плотности вероятности квадрата случайной величины

Рис. 3.2. Линейное преобразование гауссовской случайной величины

Во всем дальнейшем изложении для краткости не записывается область нулевых значений плотности вероятности (как это сделано в (3.10) при ). Поэтому если приводится функция клотности распределения с указанием ограничений ее аргумента, то это означает, что в области, где ограничения не выполняются, эта функция тождественно равна нулю.

Из (3.10) следует, например, что плотность вероятности квадрата гауссовской случайной величины с параметрами

При , т. е. для плотности вероятности квадрата стандартной гауссовской величины из (3.11) находим (рис. 3.3)

Рис. 3.3. иллюстрирует тот факт, что при нелинейном преобразовании случайной величины кривая плотности вероятности подвергается существенной деформации, которую заранее, вообще говоря, даже трудно предвидеть.

3.1.6. Специальный случай.

В приложениях встречается функциональное преобразование следующего вида:

При этом обратная функция вообще не существует, так как континууму значений на интервале соответствует одно значение . Однако, вводя дельта-функцию, можно распространить формулы преобразования плотности вероятности и на указанное преобразование. Пусть функция -монотонно убывающая, а — монотонно возрастающая. Тогда (рис. 3.4)

где — функции, обратные - функция единичного скачка [см. (2.7)].

Рис. 3.3, Квадратичное преобразование гауссовской случайной величины

Плотность вероятности случайной величины

Для линейных функций формула (3.13) преобразуется к виду

Рассмотрим также преобразование следующего вида:

Для определения плотности вероятности случайной величины следует воспользоваться формулой (3.13) при Так как

то

(3.136)

В частном случае линейно-ломаного преобразования центрированной гауссовской случайной величины

где — функция Лапласа [см. (2.68)].

3.1.7. Среднее значение функции случайной величины.

Пусть известна плотность распределения случайной величины и требуется найти среднее значение Конечно, для решения такой задачи можно по формуле (3.9) предварительно найти плотность вероятности а затем определить

Рис. 3.4. Специальный случай преобразования случайной величины

Но среднее значение можно определить, минуя промежуточный этап вычисления используя только исходные данные: плотность и закон преобразования

Разобьем область возможных значений случайной величины на непересекающиеся интервалы и запишем искомое среднее как предел интегральной суммы

Событие эквивалентно объединению несовместимых событий число которых равно количеству ветвей обратной функции . Тогда, используя правило сложения, из эквивалентности событий получаем

где область интегрирования представляет сумму малых интервалов, содержащих все значения обратной функции . Так как , то

После суммирования по i и перехода к пределу получим

при условии, что интеграл (3.14) сходится (абсолютно). При

(3.14 а)

т.е. момент распределения можно трактовать как среднее значение случайной величины степени. Аналогично

(3.146)

Обобщая формулу (3.14), запишем для среднего значения функции векторной случайной величины

Если представляет совокупность независимых случайных величин, то из (3.15) следует

(3.15 а)

Среднее значение произведения независимых случайных величин равно произведению средних значений сомножителей.

3.1.8. Среднее значение линейной комбинации случайных величин.

Рассмотрим линейное преобразование совокупности случайных величин с известной -мерной плотностью вероятности

где — вектор-строка произвольных констант. Согласно общей формуле (3.15)

Из (3.17) следует, что среднее значение линейной комбинации произвольно зависимых случайных величин равно линейной комбинации средних значений этих случайных величин. В векторной терминологии это свойство среднего при линейном преобразовании (3.16) можно сформулировать так: при усреднении скалярного произведения постоянного и случайного векторов постоянный вектор можно выносить за знак среднего. В частности, скалярный множитель можно выносить за знак среднего Далее, при из (3.17) следует, что среднее от алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме средних от слагаемых.

3.1.9. Линейное преобразование совокупности случайных величин.

Рассмотрим линейное преобразование случайных величин

ИЛИ

(3,18 а)

где — симметричная квадратная матрица произвольных констант. Из (3.18) с учетом (3.17) следует, что . Ковариационная матрица случайных величин где

Вынося, в соответствии с (3.17), знаки суммирования и константы за знак среднего, получаем

где С — транспонированная матрица, которая совпадает с С, поскольку матрица С симметричная.

3.1.10. Декорреляция совокупности случайных величин.

Как известно из теории матриц [3], для любой симметричной положительно определенной матрицы всегда можно найти такую ортогональную матрицу С, что произведение — диагональная матрица.

Вектор-строками такой ортогональной матрицы являются ортонормированные собственные векторы матрицы , а элементами диагональной матрицы — обратные величины положительных собственных значений матрицы . Собственные векторы и собственные значения матрицы удовлетворяют уравнению

Линейное преобразование (3.18 а), где С — ортогональная матрица, называется ортогональным. Таким образом, ортогональным преобразованием из произвольной совокупности коррелированных случайных величин получаем совокупность центрированных некоррелированных случайных величин, причем — диагональная ковариационная матрица. Обратное преобразование представляет ортогональное разложение элементов совокупности коррелированных случайных величин на некоррелированные составляющие.

Если — совокупность зависимых гауссовских случайных величин, то ортогональным преобразованием получаем совокупность независимых гауссовских случайных величин, а обратное преобразование дает разложение гауссовских случайных величин на независимые составляющие.

3.1.11. Дисперсия линейной комбинации случайных величин.

Из (3.18), опуская индекс , получаем

т. е.

где . Так как , то (3.21) можно переписать в виде

Если и некоррелированы, то

В частности, скалярный множитель можно выносить за знак дисперсии, если его возвести в квадрат; . Далее при из (3.22) следует, что дисперсия алгебраической суммы попарно некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.

3.1.12. Преобразование многомерной плотности вероятности при функциональных преобразованиях произвольной совокупности случайных величин.

Вернемся теперь к общей постановке задачи, указанной в п. 3.1.1. Задана многомерная плотность совокупности случайных величин и необходимо определить многомерную плотность случайных величин Как отмечалось, решение этой задачи получается из предварительного решения при

Рассмотрим общий случай, когда преобразование, обратное преобразованию

неоднозначное. Обозначим ветвь обратного преобразования . Следуя использованному в геометрическому подходу, введем событие 5, состоящее в том, что точка в -мериом эвклидовом пространстве принадлежит некоторой области и событие состоящее в том, что точка (рис. 3.5). Так как то

(3.24 а)

и при достаточно малых «объемах» областей

(3.246)

Как известно, предел отношения при переходе от координат к координатам когда равен якобиану преобразования

Тогда из и (3.25) с учетом свойства неотрицательности плотности вероятности получим

где

Если преобразование взаимно однозначное, то сумма в (3.26) содержит только один член.

Рис. 3.5. Преобразование многомерной плотности распределения

3.1.13. Плотность вероятности скалярной функции векторной случайной величины.

Рассмотрим частный случай общего преобразования (3.1), когда , т. е.

В соответствии с общим методом определения одномерной плотности вероятности по заданной многомерной плотности необходимо сначала найти многомерную плотность совокупности случайных величин

Если функция, обратная f, однозначна, то

(3.28 а)

Как нетрудно убедиться, якобиан преобразования (3.28 а) [см. (3.25)]

и из (3.26) находим

Интегрируя по переменным получаем искомую одномерную плотность скалярной функции векторной случайной величины

3.1.14. Плотность вероятности линейной комбинации случайных величин.

Рассмотрим линейное преобразование совокупности случайных величин с известной -мерной плотностью . В этом случае закон преобразования (3.28) записывается в виде

а обратное преобразование (3.28а)

(3.31а)

Без ограничения общности полагаем . Так как

то якобиан преобразования [см. (3.28 б)].

В соответствии с (3.30) находим плотность вероятности линейной комбинации случайных величин

Если случайные величины независимы, то из (3.32) следует

В простейшем случае алгебраической суммы двух случайных величин из (3.32) получим

Если независимы, то

(3.33 а)

Интеграл в правой части (3.33 а) называется сверткой функции . Из (3.33 а) нетрудно определить функцию распределения алгебраической суммы двух независимых случайных величин

(3.33 б)

3.1.15. Плотность вероятности произведения и частного случайных величин.

Пусть — совокупность случайных величин и - плотность совместного распределения этой совокупности. Найдем плотность вероятности случайной величины

Совершим над исходной совокупностью функциональное преобразование

(3.35 а)

В соответствии с (3.28 б) якобиан преобразования

(3-35 б)

Используя (3.30), находим искомую плотность вероятности

Если случайные величины независимы, то из (3.36) следует

(3.36 а)

В простейшем случае произведения двух случайных величин из (3.36) получим

а если и независимы, то

(3.37 а)

Аналогично для частного имеем

и для независимых

(3.38 а)