15.1.3. Анализ рабочей характеристики оптимального алгоритма обнаружения сигнала.

Рабочей характеристикой оптимального алгоритма обнаружения сигнала на фоне помех назовем зависимость максимальной вероятности правильного обнаружения сигнала от заданной вероятности ложной тревоги при фиксированных априорных данных.

Для того чтобы определить максимальную по критерию Неймана—Пирсона вероятность правильного обнаружения сигнала, необходимо исследовать распределение статистики в левой части (15.16), т. е. когда выборка представляет аддитивную смесь сигнала и независимой гауссовской помехи. Ясно, что линейная комбинация гауссовских случайных величин также представляет гауссовскую случайную величину, а ее среднее и дисперсия

(15.17 а)

Заметим, что при гипотезе и альтернативе «расстояние» между статистиками

Вероятность правильного обнаружения сигнала

(15.19)

или

(15.20)

где — процентные точки стандартного нормального распределения вероятностей. Обозначая через мощность сигнала перепишем характеристику (15.20):

(15.20 а)

Соотношение (15.20) представляет рабочую характеристику оптимального алгоритма обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой гауссовской помехи в виде линейной зависимости процентных точек (рис. 15.2).

Рис. 15.2. Линейная зависимость процентных точек

Рис. 15.3. Семейство рабочих характеристик обнаружения сигнала

Единственным параметром этой характеристики является величина пропорциональная квадратному корню из отношения мощности сигнала к дисперсии помехи. Таким образом, качество обнаружения не зависит от вида сигнала, а только от его мощности. Ясно, что при увеличении размера выборки увеличивается значение параметра которое пропорционально .

На рис. 15.3 приведены в явном виде рабочие характеристики обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой гауссовской помехи как семейство функций при различных значениях отношения сигнал-помеха.