Глава 10. ОГИБАЮЩАЯ И ФАЗА УЗКОПОЛОСНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

10.1. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОГИБАЮЩЕЙ И ФАЗЫ

10.1.1. Определение огибающей и фазы.

При некоторых весьма общих предположениях можно по заданному случаймому стационарному процессу с помощью преобразования Гильберта образовать новый, сопряженный стационарный случайный процесс (см. Приложение II)

Сходимость интеграла (10.1) понимается в среднеквадратическом смысле. Тогда случайный процесс и ему сопряженный можно представить в виде [см. (5) и (6) в Приложении II]:

откуда следует

(10.5)

Определенные таким образом случайные процессы называются соответственно огибающей и фазой случайного процесса

Заметим, что из (10.4) следует , т. е. случайная функция нигде не пересекает случайную функцию . Кроме того, и поэтому в точках, где имеет место равенство Таким образом, случайная функция не пересекает а в точках соприкосновения имеет общие касательные. Указанные свойства объясняют смысл принятого для случайной функции названия огибающей

При представлении случайного процесса в виде (10.2) он может рассматриваться как гармоническое колебание, модулированное по амплитуде и фазе случайными функциями

Используя свойство преобразования Гильберта, выраженное формулой (3) Приложения II, находим, что спектральная плотность мощности, а следовательно, и корреляционная функция случайного процесса сопряженного с совпадает со спектральной плотностью мощности [корреляционной функцией случайного процесса Взаимная корреляционная функция двух сопряженных процессов

Допуская возможность изменения порядка интегрирования и усреднения, получаем

Таким образом, взаимная корреляционная функция и корреляционная функция являются парой преобразований Гильберта. Снова используя (3) Приложения II, находим, что взаимная спектральная плотность двух сопряженных процессов

Из (10.6) и (10.7) находим связь между взаимной корреляционной функцией и спектральной плотностью мощности процесса

Из (10.8) следует, что взаимная корреляционная функция сопряженных случайных процессов нечетна, а при т. е. в совпадающие моменты времени, эти случайные процессы некоррелированы. Если - стационарный гауссовский случайный процесс, то и — стационарный гауссовский случайный процесс и совместное распределение нормальное, причем в совпадающие моменты времени эти процессы независимы.

10.1.2. Представление узкополосного процесса.

Возможность представления случайного процесса в виде (10.2) не налагает каких-либо существенных ограничений на спектр процесса.

Однако практически особый интерес и наглядность рассматриваемое представление приобретает для узкополосных процессов.

Пусть — некоторая частота в полосе, где в основном сосредоточен узкополосный спектр случайного процесса . Положим

Подставляя (10.9) в (10.2), получаем следующее представление узкополосного случайного процесса:

(10.10)

Вводя квадратурные составляющие

(10.11)

находим

(10.12)

Аналогично для сопряженного процесса из (10.3) получаем

Из (10.10) следует

(10.14)

Здесь огибающая и фаза узкополосного случайного процесса определены как нелинейные безынерционные преобразования квадратурных составляющих в отличие от соотношений (10.4), (10.5), которые определяют огибающую и фазу как нелинейные инерционщые преобразования исходного процесса так как сопряженный процесс представляет реакцию линейного (физически нереализуемого) фильтра на входной процесс

Иногда удобно бывает записать выражение (10.10) как действительную часть некоторой комплексной величины

(10.16)

где

(10.17)

— комплексная огибающая узкополосного случайного процесса

Из (10.12) и (10.13) следует

(10.18)

В принципе приведенные здесь соотношения верны не только для узкополосных процессов, так как при их выводе предположение об узкополосности не использовалось. Однако, как будет показано далее, полезность этих соотношений обнаруживается для узкополосных процессов.

10.1.3. Корреляционные функции квадратурных составляющих.

Обозначим через корреляционные и взаимные корреляционные функции квадратурных составляющих Тогда из (10.18) и (10.19) находим

(10.20)

Из (10.20) и (10.21) следует

(10.22)

Выражая корреляционную и взаимную корреляционную функции через спектр процесса , получаем из (10.20)

(10.23)

Для узкополосного процесса из (10.23) с пренебрежимо малой погрешностью следует приближенное равенство

(10.24)

где - спектр процесса сдвинутый в область нижних частот (см. п. 4.4.1).

Из (10.23) следует, что дисперсии случайных процессов равны между собой и равны дисперсии процесса

(10.25)

откуда следует также [см. (10.14)]

(10.26)

Анализ формулы (10.24) показывает, что для узкополосного процесса корреляционные функции квадратурных составляющих медленно меняются по сравнению с Учитывая связь огибающей и фазы с квадратурными составляющими заключаем, что корреляционные функции огибающей и фазы также медленно меняются по сравнению с а их спектры сосредоточены в низкочастотной области.

Таким образом, узкополосный случайный процесс носит характер высокочастотного колебания с несущей частотой и медленно меняющимися огибающей и фазой [см. (10.12) и (10.22)].

Для взаимных корреляционных функций процессов имеем из (10.21)

(10.27 а)

Для узкополосного процесса из (10.27 а) с пренебрежимо малой погрешностью следует [см. (10.24)]

Из (10.276) следует, что при , т. е. в совпадающие моменты времени, случайные процессы всегда некоррелированы. Если — стационарный гауссовский случайный процесс, то квадратурные составляющие также являются стационарными гауссовскими случайными процессами, независимыми в совпадающие моменты времени.

Заметим, что из (10.24) и (10.27б) следует, что

(10.28)

Корреляционные функции производных

(10.29)

а дисперсия этих производных

(10.30)

Нетрудно также получить выражение для взаимных корреляционных функций

где

Если спектр симметричный и совпадает с центральной частотой спектра, то из (10.24) и (10.27) находим (см. и 4.4.1):

(10.32)

Из (10.22) и (10.32) следует, что корреляционная функция узкополосного случайного процесса с симметричным относительно центральной частоты спектром , что совпадает с (4.103). При этом, однако, выясняется физический смысл функции в (4.103), которая является корреляционной функцией для каждого из медленно меняющихся процессов связанных с узкополосным процессом соотношениями (10.18) и (10.19).

10.1.4. Огибающая и фаза суммы узкополосных случайного и детерминированного процессов.

В соответствии с (10.12) стационарный узкополосный случайный процесс можно представить в виде

где - стационарные и стационарно связанные случайные процессы, корреляционные функции которых медленно меняются за один период

Пусть детерминированный процесс представляет высокочастотное колебание частоты модулированное по амплитуде и по фазе, т. е.

где — огибающая и фаза узкополосного детерминированного процесса. Сумму случайного и детерминированного процессов

(10.35)

можно представить в виде

(10.36)

где - огибающая и фаза случайного процесса определяемые по формулам

(10.37)

10.1.5. Распределение вероятности огибающей и фазы.

Для определения многомерной плотности вероятности огибающей и фазы узкополосного процесса (10.35), воспользуемся общим методом, указанным в п. 3.2.2.

Пусть — совместная плотность вероятности значений в моментах времени.

Для того чтобы найти многомерные плотности вероятности огибающей и фазы, перейдем в соответствии с (10.37) и (10.38) в указанном совместном распределении к полярным координатам

(10.39)

где

После такой замены вместо совместной плотности, зависящей от переменных получаем -мерную совместную плотность вероятности огибающей и фазы, зависящую от переменных

(10.40)

где

— якобиан преобразования (10.39).

Подставим (10.39) в (10.41), проведем дифференцирование и вычислим детерминант

(10.42)

Многомерная плотность вероятности огибающей получается -кратным интегрированием (10.40) по переменным

(10.43)

Интегрируя (10.40) по переменным находим многомерную плотность вероятности фазы

(10.44)

В некоторых задачах нелинейного преобразования огибающей решение может быть получено иногда быстрее при помощи характеристической функции. Характеристическая функция процесса

(10.45)

Заметим, что из-за сложности нелинейной функциональной зависимости огибающей и фазы от невозможно использовать результаты § 8.1 для определения корреляционных функций и спектральной плотности мощности огибающей и фазы. Поэтому для определения энергетических характеристик огибающей и фазы следует предварительно по формулам (10.43) и (10.44) найти их двумерные плотности вероятности, а затем вычислить корреляционные функции и по теореме Хинчина — Винера спектральные плотности мощности.

10.1.6. Совместные плотности вероятности огибающей и фазы узкополосного гауссовского процесса.

Покажем, как используется общий подход, указанный в п. 10.1.5, к нахождению совместных плотностей вероятности огибающей и фазы на примере гауссовского случайного процесса, состоящего из детерминированной и стационарной частей [см. (10.35)]. Как было показано в п. 10.1.3, квадратурные составляющие ) гауссовского стационарного процесса также гауссовские процессы, независимые в совпадающие моменты времени, причем их дисперсии совпадают с дисперсией исходного процесса. Поэтому совместное распределение в момент времени t равно произведению одномерных плотностей вероятности этих случайных функций

Заменяя в соответствии с (10.39) при

(10.47)

получаем совместную плотность вероятности огибающей и фазы в момент времени

(10.48)

Интегрируя (10.48) по , находим одномерную плотность вероятности огибающей, а интегрируя по — одномерную плотность вероятности фазы. Для определения двумерных распределений необходимо предварительно определить совместную плотность вероятности случайных функций в два момента времени t и которая представляет четырехмерную плотность нормального распределения с нулевыми средними и дисперсией Соответствующая этому распределению нормированная корреляционная матрица (см. п. 5.2.1) имеет вид

где и - соответственно нормированная корреляционная функция квадратурных составляющих и их нормированная взаимная корреляционная функция.

Связь величин со спектральной плотностью мощности исходного гауссовского процесса описывается формулами [см. (10.23) и (10.27)]

Обозначая

(10.52)

находим из (10.49) детерминант и алгебраические дополнения матрицы К:

Используя (5.8), можно определить четырехмерную совместную плотность вероятности квадратурных составляющих в моменты времени t и

(10.53)

Заменяя в соответствии с (10.39) при

(10.54)

где , получаем совместную плотность вероятности огибающей и фазы в два момента времени t и рассматриваемого узкополосного гауссовского процесса

или после элементарных преобразований [см. (10.34) и (10.52)]

(10.55)

где

Заметим, что выражение (10.55) записано в форме произведения двух экспонент, причем параметры детерминированной части процесса содержатся только во второй экспоненте, которая обращается в единицу, если , т. е. если гауссовский процесс — стационарный.

Из (10.55) двукратным интегрированием по находим двумерную плотность вероятности огибающей, а двукратным интегрированием по — двумерную плотность фазы.