13.8.7. Относительная эффективность одностороннего знакового алгоритма.

Сравним по критерию асимптотической относительной эффективности односторонний линейный знаковый алгоритм (13.176) с линейным алгоритмом, оптимальным (РНМ) по критерию Неймана — Пирсона, который используется для проверки простой гипотезы о нулевом среднем гауссовской случайной величины против сложной альтернативы, что среднее значение положительное . В обоих случаях решение выносится по однородной независимой выборке заданного размера (см. п. 13.5.7).

Предположим, что односторонний линейный алгоритм

(13.185)

оптимальный в указанном смысле для нормального распределения выборок (которое, очевидно, принадлежит классу симметричных распределений), используется для проверки гипотезы о сдвиге произвольного симметричного распределения с известной дисперсией

Ясно, что алгоритм (13.185) не является непараметрическим.

Согласно центральной предельной теореме линейная статистика [см. левую часть (13.185)] асимптотически нормальна при произвольном распределении элементов независимой однородной выборки и при условии причем при любом

Тогда вероятности ошибок первого и второго рода при 1 равны

(13.186 а)

где — интеграл Лапласа.

При заданном значении а из (13.186 а) находим

(13.187)

и, подставляя (13.187) в (13.1866), получаем [ср. с (13.96)]

(13.188)

где — процентные точки нормального распределения.

Определим, используя соотношения, приведенные в п. 13.7.5, КАОЭ линейного знакового алгоритма (13.176) по отношению к линейному (13.185), имея в виду, что статистики, на которых основаны указанные алгоритмы, асимптотически нормальные. Как указывалось в п. 13.7.5, при неограниченном увеличении размера выборки следует предположить, что гипотеза Н и альтернатива К сближаются. В рассматриваемом случае близость Н и К означает малость параметра а. Тогда для симметричной относительно среднего значения а плотности вероятности имеем

(13.189 а)

Подставляя (13.189а и б) в (13.181), получаем для линейного знакового алгоритма следующую асимптотическую характеристику:

(13.189 в)

Из (13.162), (13.188) и (13.189 в) находим КАОЭ линейного знакового алгоритма (13.176) по отношению к линейному (13.185):

(13.190)

Если — плотность нормального распределения, то и из (13.190) следует, что , т. е. при указанном условии эффективность знакового алгоритма почти в два раза меньше эффективности линейного, который оптимален при проверке гипотез о среднем значении нормального распределения. Однако при симметричном распределении, которое отличается от нормального, положение меняется. Так, при распределении Лапласа с плотностью имеем и из (13.190) следует, что , т. е. знаковый алгоритм асимптотически вдвое эффективнее линейного.

Из (13.190) для равномерного распределения следует, что а для синусоиды со случайной равномерно распределенной фазой

. В этих двух случаях линейный алгоритм существенно эффективнее линейного знакового.

Заметим, что для симметричного распределения, у которого КАОЭ знакового алгоритма (13.176) по отношению к линейному (13.185) равен нулю. Примером указанного распределения является бимодальное распределение с плотностью

Отметим также, что формула (13.190) представляет КАОЭ знакового алгоритма (13.176) по отношению к равномерно наиболее мощному алгоритму (13.104) для проверки гипотезы о среднем нормального распределения при неизвестной дисперсии. Это происходит потому, что статистика Стьюдента асимптотически нормальная, статистика в левой части (13.105) при близка к линейной в (13.185), а порог (13.105) близок к [см. (13.187)].