10.3. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОГИБАЮЩЕЙ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА
10.3.1. Распределения вероятностей квадрата огибающей.
Определим двумерную плотность вероятности квадрата огибающей узкополосного гауссовского случайного процесса после квадратичного детектирования. Для этого в (10.62) необходимо перейти от переменных 
к переменным
(10.72)
Так как 
, то каждой точке в плоскости 
будет соответствовать только одна точка в плоскости 
хотя обратная функция 
двузначна. Якобиан преобразования (10.72)
Учитывая, что 
находим двумерную плотность вероятности квадрата огибающей
(10.73)
Если детерминированная часть процесса отсутствует, то 
и
При 
из (10.73) находим одномерную плотность вероятности квадрата огибающей [ср. с (3.50)]
При 
распределение квадрата огибающей — экспоненциальное
(10.75 а)
а при 
[см (3.52 а)] (рис. 10.1)
(10.756)
Из (10.60) и (8.13) нетрудно определить корреляционную функцию квадрата огибающей стационарного узкополосного гауссовского процесса
(10.76)
где
(10.77)
Из (10.77) находим 
и, интегрируя по частям, доказывает, что при 2 коэффициенты с 
. Таким образом, корреляционная функция квадрата огибающей стационарного гауссовского процесса
(10.78)
Нормированная корреляционная функция квадрата огибающей
(10.79)
Из сравнения (10.78) с (9.48) видно, что (как и следовало ожидать) после квадратичного детектирования стационарного узкополосного гауссовского процесса низкочастотная часть его спектра совпадает со спектром квадрата огибающей.
10.3.2. Идеальное ограничение огибающей.
Определим корреляционную функцию после идеального (предельного) ограничения огибающей узкополосного стационарного гауссовсовского процесса. Нелинейное преобразование в идеальном ограничителе задается функцией (9.64).
Рис. 10.1. Плотность вероятности квадрата огибающей гауссовского процесса
Используя (10.60) и разложение (8.13), получаем следующее выражение корреляционной функции предельно ограниченной огибающей
(10.80)
где
(10.81)
— уровень ограничения.
Для 
из (10.81) непосредственно следует
(10.82)
При 
и, вводя полином Лаггера 
, получаем окончательно
(10.83)
Для вычисления 
можно использовать разложение
(10.83 а)
10.3.3. Логарифмический детектор.
Рассмотрим логарифмическое преобразование огибающей стационарного гауссовского процесса
(10.84)
Среднее значение и второй момент логарифма огибающей стационарного центрированного гауссовского процесса с дисперсией 
равны
(10.86)
где 
— постоянная Эйлера.
Из (10.85) и (10.86) следует, что дисперсия огибающей равна
(10.87)
Из (10.60) и (8.13) определяем корреляционную функцию логарифма огибающей стационарного гауссовского процесса
(10.88)
где
(10.89)
Для вычисления интеграла (10.89) перейдем к новой переменной 
Тогда, используя разложение
(10.90)
получаем
(10.91)
При 
из (10.91) находим 
. Так как при 
сумма 
то остальные коэффициенты
(10.92)
Подставляя (10.92) в (10.88) и учитывая (10.85), получаем
(10.93)
При 
правая часть (10.93) совпадает с (10.87), так как 
