Глава 19. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ЦИФРОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ АДДИТИВНЫХ ПОМЕХ

19.1. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЙ ЦИФРОВОЙ АЛГОРИТМ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ НЕЗАВИСИМОЙ ПОМЕХИ

19.1.1. Оптимальный по критерию Неймана—Пирсона цифровой алгоритм обнаружения сигнала.

В отличие от дискретно-аналоговой обработки гари цифровой обработке наблюдаемый процесс квантуется не только во времени, но и по амплитуде. Предположим, что значения наблюдаемого процесса квантуются на М уровней по закону (см. п. 8.3.1 и рис. 8.2)

причем

Закон амплитудного. квантования определяется двумя векторами: вектор и вектором граничных точек интервалов квантования

На выходе аналого-цифрового преобразователя (АЦП) из наблюдаемой независимой выборки получаем независимую выборку того же размера дискретных случайных величин со значениями из заданного множества , т. е.

где

(19.3)

— индикатор множества

При гипотезе Н (сигнала нет)

причем и вероятность не зависит от индекса i, так как при гипотезе Н выборка однородная. При альтернативе К (сигнал присутствует)

(19.46)

где — плотности распределения помехи и смеси сигнала с аддитивной помехой.

Оптимальный по критерию Неймана — Пирсона цифровой алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне независимой помехи предписывает сравнение с порогом статистики логарифма отношения правдоподобия

19.1.2. Асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия.

Как и для дискретно-аналоговых алгоритмов, при синтезе асимптотически оптимальных цифровых алгоритмов обнаружения сигналов используется асимптотическое разложение логарифма отношения правдоподобия. Предположим, что для всех значений функция дифференцируема по параметру и

причем для любого всегда найдется такое что при .

В (19.6) величина равна

или

После элементарных преобразований

где

(19.7 б)

Ясно, что [см. (19.7)]

(19.7 в)

Предположим, что количество информации по Фишеру для независимых квантованных выборок помехи

ограничено, не равно нулю, выполняются условия (17.52) и (17.57), а также . При указанных предположениях логарифм отношения правдоподобия (19.5) допускает следующее асимптотическое разложение:

где определено согласно (17.56), а

(19.10)

причем и при гипотезе Н, и при альтернативе К.

Статистика (19.9) асимптотически нормальна с параметрами — при гипотезе Н и с параметрами при альтернативе К. Доказательство приведенных утверждений аналогично доказательству теоремы 1 в п. 17.4.1. Статистика [первый член разложения (19.9)]

(19.11)

асимптотически нормальна с параметрами при гипотезе Н и при альтернативе К.

Из (19.5), (19.8) и (19.10) следует

(19.12)

так как

(19.12 а)

Рис. 19.1. Схема асимптотически оптимального цифрового обнаружителя детерминированного сигнала

Заметим, что статистика (19.11) получается из (17.59) заменой функции на , а параметры предельного распределения статистики (19.11) — из параметров предельного распределения статистики (17.59) заменой

19.1.3. Асимптотически оптимальный цифровой алгоритм обнаружения детерминированного сигнала.

Из (19.11) непосредственно следует, что цифровой асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой стационарной помехи

(19.13)

где функция определена согласно (19.10). Учитывая асимитотическую нормальность статистики и значения параметров предельного распределения, нетрудно определить порог

(19.13 а)

и предельную рабочую характеристику обнаружения

(19.14)

Заметим, что алгоритм (19.13) — цифровой, так как наблюдаемая реализация случайного процесса подвергается временной дискретизации и квантованию по уровню (см. п. 12.2.4). Однако при формировании корреляционной суммы в (19.13) используются неквантованные весовые коэффициенты п. Полностью цифровая обработка предусматривает предварительное квантование этих весовых коэффициентов.

19.1.4. Структурная схема алгоритма.

При заданном разбиении диапазона возможных значений наблюдаемой выборки на области асимптотически оптимальный закон амплитудного квантования описывается формулой (19.10), где величины зависят от распределения помехи [см. (19.7)], а — индикатор множества [см. (19.3)]. Асимптотически оптимальный цифровой обнаружитель детерминированного сигнала состоит из трех блоков (рис. 19.1): аналого-цифрового преобразователя наблюдаемых выборок с характеристикой (19.10), дискретного коррелометра К и устройства сравнения с поротом.

Если множества Е стягиваются в точки , которые заполняют всю действительную ось, то из (19.7 а) и (19.10) следует, что и цифровой алгоритм (19.13) совпадает с дискретно-аналоговым (18.2), а структурна» схема на рис. 19.1 — со структурной схемой на рис. 18.1

19.1.5. Коэффициент асимптотической относительной эффективности асимптотически оптимального цифрового алгоритма по отношению к асимптотически оптимальному дискретно-аналоговому алгоритму.

Из (19.4) и (19.14) следует, что при обнаружении детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой помехи с произвольной плотностью распределения

(19.15)

где определены согласно (19.8) и (18.20).

Покажем, что в (19.15) . Согласно неравенству Буняковского — Шварца при

Тогда из (19.7 а) следует

Таким образом,

т. е.

(19.16)

Разность равна среднему квадрату отклонения от при гипотезе Н. Действительно,

19.1.6. Квантование на два уровня.

Рассмотрим случай, когда амплитуда квантуется на два уровня: . Из (19.7) получаем

(19.17 а)

При симметричном распределении центрированной помехи

(119.19)

В этом случае согласно (19.13) цифровой асимптотически оптимальный (АО) алгоритм обнаружения детерминированного сигнала можно представить в виде

(19.20)

Этот алгоритм аналогичен знаковому алгоритму обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной стационарной независимой помехи, который при симметричной плотности распределения помехи обладает непараметрическим свойством (см. п. 16.1.2).

Из (19.8), (19.18) и (19.19) находим информацию по Фишеру

и, следовательно, в рассматриваемом случае КАОЭ цифрового алгоритма обнаружения сигнала по отношению к дискретноаналоговому АО алгоритму [см. (19.15)]

(19.22)

Для гауссовской помехи, иопользуя (18.11) и (18.12), получаем

(19.23)

что соответствует (18.46 а). Для лапласовской помехи, используя (18.13) и (18.14), , так как при этом цифровой АО алгоритм при (т. е. знаковый алгоритм) совпадает с дискретноаналоговым алгоритмом.

Для помехи с обобщенным экспоненциальным распределением используем (18.15) и (18.16):

(19.24)

Для помехи с логистическим распределением, попользуем (18.17) и (18.18), и в результате

(19.25)

что соответствует (18.46 б).

Для помехи с распределением Стьюдента используем (18.21) и (18.23):

что соответствует (18.46 в).

Для помехи с обобщенным распределением Стьюдента с помощью (18.20) и (18.22) получим

19.1.7. Оптимальный выбор граничных точек интервалов квантования.

Эффективность асимптотически оптимального цифрового алгоритма обнаружения сигнала пропорциональна информации по Фишеру квантованной выборки помехи. Эта величина зависит не только от закона амплитудного квантования, но и от выбора граничных точек интервалов квантования наблюдаемых выборок. Возникает задача определения оптимального вектора граничных точек ингервал квантования, для которого при фиксированном числе уровней квантования

(19.28)

Система уравнений

(19.29)

определяет экстремальные точки z и тем самым оптимальное разбиение диапазона возможных значений выборок на интервалы квантования. Подставляя (19.8) в (19.29), получаем

Из (19.7) находим

так как

то система уравнений (19.29) приводится к виду

Если плотность распределения аддитивной помехи унимодальна, то функция монотонно возрастающая. Тогда из (19.30) следует

(19.31)

причем величины определены согласно (19.7).

При квантовании на два уровня [см. (19.18)] и тогда из (19.31) получаем уравнение

(19.32)

для определения тючки которая оптимально делит область возможных значений выборки на два интервала Учитывая (19.76), замечаем, что для симметричных унимодальных плотностей распределения (см. п. 18.1.5) корнем уравнения (19.32) является Таким образом, указанная в п. 19.1.6 граничная точка оптимальна по критерию эффективности цифрового алгоритма с квантованием выборочных значений на два уровня.

19.1.8. Устойчивость асимптотически оптимального цифрового алгоритма обнаружения сигнала.

Предположим, что алгоритм (19.13) используется для обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой оомехи с плотностью распределения Обозначим этот алгоритм через , а через — асимптотически оптимальный цифровой алгоритм обнаружения для помехи с плотностью . Определим КАОЭ алгоритма по отношению к алгоритму по формуле (18.41), заменив функцию на [см. (19.10)] и функцию на

(19.33)

где

(19.336)

Если плотности симметричны относительно нуля, то

Ясно, что , так как при

(19.34 а)

Отметим, что знаковый алгоритм (19.20) обладает абсолютной устойчивостью, так как в этом случае и из (19.34) следует