13.3. МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНАЯ ЗАДАЧА ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ

13.3.1. Постановка задачи и априорные данные.

Выдвигаются гипотез об исследуемом процессе. Задача состоит в том, чтобы по результату наблюдения реализации этого процесса, представленному в форме выборки фиксированного размера принять одну из гипотез и отклонить остальные.

На выборочном пространстве, которое представляет -мерное евклидовое пространство заданы функции правдоподобия . Известны, кроме того, априорные вероятности гипотез . Пространство решений Г состоит из элементов , где — решение принять гипотезу . Рассматривается класс D дискретно-аналоговых одношаговых алгоритмов принятия решения. Каждый алгоритм предписывает разделение пространства на непересекающихся областей . Если наблюдаемая выборка попала в область Х, то принимается решение . Элемент матрицы потерь размером представляет плату за решение когда истинной была гипотеза . Вероятность

13.3.2. Байесовский алгоритм.

Используя указанный комплект априорных данных, запишем выражение среднего риска [см. (12.12)]

(13.50)

Обобщая подход, использованный при выводе неравенств (13.12), можно доказать, что минимальное значение среднего риска (13.50) достигается в том случае, если к области принятия решения , относят точки выборочного пространства удовлетворяющие системе неравенств (байесовский алгоритм)

(13.51)

Область принятия решения определяется из условия

Введем вектор отношений правдоподобия , где

(13.52)

Тогда систему неравенств (13.51) можно переписать в виде

(13.53)

Таким образом, для реализации байесовского алгоритма проверки гипотез достаточно вычислить компоненты -мерного вектора отношений правдоподобия. Иными словами, вектор отношений правдоподобия несет всю информацию о проверяемых гипотезах, которая содержится в выборке заданного размера и является в этом случае достаточной статистикой.

13.3.3. Проверка трех простых гипотез.

Проиллюстрируем байесовский алгоритм (13.53) принятия решений на примере проверки трех простых гипотез Обозначая запишем оптимальное байесовское правило выбора решения следующим образом:

1) принимается решение о том, что верна гипотеза если

(13.54 а)

2) принимается решение о том, что верна гипотеза если

(13.546)

3) принимается решение о том, что верна гипотеза если

(13.54 в)

Рис. 13.3. Области принятия решения

Переменные

представляют функциональное преобразование -мерного случайного вектора с компонентами в случайный вектор с неотрицательными компонентами . В зависимости от того, в какую из трех непересекающихся областей первой четверти плоскости, определяемых приведенными системами двух неравенств, попадает указанный вектор, принимается одно из трех возможных решений.

На рис. 13.3 показаны области принятия трех решений для частного случая, когда платы за правильные решения равны нулю, а платы за ошибочные решения равны между собой.

13.3.4. Алгоритм максимальной апостериорной вероятности.

Предположим, что матрица потерь неизвестна. Тогда можно синтезировать оптимальный алгоритм проверки гипотез по критерию максимальной апостериорной вероятности {см. п. 12.4.4). По формуле Байеса находим апостериорные вероятности гипотез, если в результате наблюдения получена выборка размером n:

(13.55)

Из (12.25) и (13.55) получаем следующий оптимальный алгоритм по критерию максимальной апостериорной вероятности: принимается решение если

(13.56)

Вводя статистики отношения правдоподобия [см. (13.52)], запишем это правило выбора решения так: принимается решение , если

(13.57)

и решение , если

(13.57 а)

Алгоритм максимального правдоподобия является частным случаем алгоритма максимальной апостериорной вероятности при равновероятных гипотезах .

Многоальтернативная задача проверки гипотез при других критериях качества (минимаксном, Неймана — Пирсона) рассматривалась в [35, 40].