12.2. АПРИОРНЫЕ ДАННЫЕ

12.2.1. Пространство наблюдений.

Совокупность всех мыслимых реализаций наблюдаемого случайного процесса образует пространство наблюдений.

При аналоговой форме регистрации (отображения) наблюдений множество Т моментов времени наблюдения (область определения случайного процесса ) — континуальное. Пространство наблюдений в этом случае — функциональное пространство непрерывных (или кусочно-непрерывных) функций.

При дискретной форме регистрации непрерывная реализация подвергается временной дискретизации и тогда множество Т - конечное или счетное.

В этом случае при ограниченных длительности наблюдения и интервале дискретизации наблюдение представляется конечномерным вектором

где — подмножество -мерного евклидового пространства. Вектор называют выборкой размером я, а подмножество — выборочным пространством.

Если элементы дискретной выборки — выборочные значения — представляют совокупность независимых случайных величин, то выборку называют независимой (или случайной), а если выборочные значения зависимы, то выборку называют зависимой. Если все элементы независимой выборки подчиняются одному и тому же распределению то выборка называется однородной. В этом случае часто говорят, что выборка получена из распределения или что она принадлежит распределению

Элементы дискретной выборки могут подвергаться квантованию по уровням (см. п. 8.3.1). В этом случае из наблюдаемой выборки получаем выборку того же размера, элементы которой могут принимать значение из конечного множества уровней квантования. Множество К квантованных выборок представляет решетчатое пространство наблюдений.

12.2.2. Вероятностная мера на пространстве наблюдений.

При дискретной форме регистрации наблюдений вероятностная мера на пространстве наблюдений представляет совместное конечномерное распределение выборочных значений случайного процесса. Плотность этого распределения называют функцией правдоподобия выборки.

Различают два класса функций правдоподобия: параметрический и непараметрический. Функция правдоподобия параметрического класса при каждом фиксированном векторе параметров представляет известную функцию аргумента Априорная неопределенность в этом случае состоит в том, что положение вектора в пространстве параметров (область параметрической неопределенности) заранее неизвестно. Для непараметричеокого класса вид функции правдоподобия не задан. Этот класс включает любые неотрицательные нормированные функции выборочных значений

При аналоговой форме регистрации на пространстве наблюдений задается плотность вероятности меры, абсолютно непрерывной по отношению к другой мере (производная Радона — Никодима) [35].

12.2.3. Априорное распределение неизвестных параметров.

В условиях параметрической неопределенности возникает вопрос: какова природа параметра Ф, определяющего семейство функций правдоподобия, является ли этот параметр неизвестной векторной константой или векторной случайной величиной с известной плотностью вероятности определенной на пространстве параметров . Ответ на этот вопрос также относится к априорным данным и любое из двух предположений о полной неопределенности значения параметра в данном параметрическом пространстве или о вероятностном распределении параметра на этом пространстве можно принять за основу при построении теории статистических решений.

В задачах проверки гипотез можно за неизвестный параметр принять номер гипотезы. Задавая априорные вероятности гипотез

введем случайный параметр принимающий целочисленные значения от нуля до , с распределением вероятностей (12.2) и плотностью распределения

(12.2 а)

где — дельта-функция.

12.2.4. Пространство решений и правило выбора решения.

Каждое решение представляет статистический вывод на основе наблюдений. Множество возможных решений образует пространство решений Г. В задачах проверки гипотез множество Г — конечное, состоящее из элементов

(12.3 а)

где - решение принять гипотезу . В задачах оценивания параметров пространство решений Г совпадает с пространством параметров 0, а элементами множества Г являются оценки неизвестного параметра

(12.3 б)

Как функция выборки или как функционал от наблюдаемой реализации решение у является случайной величиной, которую называют статистикой.

Каждое правило выбора решения (алгоритм обработки наблюдаемой реализации с принятием решения) отображает пространство наблюдений X на пространстве решений Г:

В задачах проверки гипотез по выборке размером каждое правило выбора решения предписывает разделение выборочного пространства на непересекающихся областей:

(12.5 а)

Если наблюдаемая выборка попала в область то принимается решение

(12.5 б)

Совокупность D правил выбора решения представляет всех возможные способы разделения выборочного пространства на непересекающихся областей.

В задачах оценивания по выборке размером каждое правило выбора решения устанавливает соответствие между элементами выборочного пространства и пространства решений изоморфному пространству параметров

В дальнейшем правило выбора решения, т. е. алгоритм обработки наблюдений с принятием решения, будем кратко называть алгоритмом принятия решения. Аналоговому и дискретному представлениям наблюдений соответствуют аналоговые и дискретные алгоритмы обработки. Последние разделяются на два вида: дискретно-аналоговые при дискретизации только по времени и цифровые при дискретизации и по времени, и по уровню наблюдаемой реализации случайного процесса.

Алгоритм принятия решения может быть одношаговым, когда решение выдается один раз в результате обработки входных данных за весь фиксированный интервал наблюдений. Он может быть и многошаговым или последовательным, когда длительность интервала наблюдения заранее не фиксируется. Решение может приниматься на любом этапе наблюдения или не выноситься впредь до получения дополнительных данных при продолжений наблюдения.

12.2.5. Плата за принятие решения.

Принятие решения по любому правилу на основе одной реализации наблюдаемого случайного процесса не может быть всегда безошибочным. Так, при проверке гипотез наблюдаемая случайная выборка может попасть в область и будет принято решение (см. (12.5 б)), хотя в действительности имеет место гипотеза При формировании оценки неизвестного параметра Ф по случайной выборке неизбежны случайные ошибки

Таким образом, принятие решений связано не только с определенными затратами на обработку наблюдений для получения правильных решений, но и с определенными потерями, если решения оказываются ошибочными. Эти затраты и потери можно учесть, вводя априори так называемую функцию потерь, которая каждой паре утверждений истина — принятое решение ставит в соответствие неотрицательную величину — плату за принятие решения.

Так, в задачах проверки гипотез вводится матрица потерь размером элемент которой является платой за решение когда истинной была гипотеза задачах оценивания параметров вводится неотрицательная функция потерь , зависящая от двух переменных: случайной оценки и оцениваемого параметра .