15.1.2. Синтез оптимального алгоритма обнаружения по независимой выборке.
Предположим сначала, что интервал дискретизации 
где тк — интервал корреляции стационарной гауссовской помехи. Так как 
, где 
— ширина полосы спектра помехи, то указанное условие означает 
Время наблюдения 
При указанных условиях элементы выборки (15.1) можно полагать практически некоррелированными, а так как распределение выборки нормальное, то с достаточным приближением можно полагать наблюдаемую выборку 
независимой. В этом случае корреляционная матрица диагональная
где 
— дисперсия помехи и I — единичная матрица. Очевидно, что обратная матрица 
Тогда согласно (15.3) и (15.4) функции правдоподобия выборки при гипотезе Но и альтернативе 
Как следует из общей теории проверки статистических гипотез (см. п. 13.1.9), оптимальный по критерию Неймана — Пирсона алгоритм принятия решения предписывает сравнение с порогом достаточной статистики логарифма отношения правдоподобия. В рассматриваемом случае эта статистика равна
или
Так как дисперсия помехи и детерминированный сигнал априори известны, то достаточной статистикой является также сумма
(15.10)
Теперь можно сформулировать оптимальный по критерию Неймана—Пирсона дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне независимой гауссовской аддитивной помехи.
Принимается решение 
о наличии сигнала, если
(15.11)
и решение 
о том, что сигнала нет, в противном случае.
Порог с в (115.11) при заданной вероятности а ложной тревоги находим из уравнения
(15.12)
Чтобы определить вероятность в левой части равенства (15.12), необходимо исследовать распределение статистики (15.10) при гипотезе 
, т. е. когда выборка 
представляет последовательность 
независимых центрированных гауссовских величин с одинаковыми дисперсиями 
. Ясно, что сумма 
также представляет центрированную гауссовскую величину с дисперсией
(15.13)
Тогда
(15.14)
или
(15.15)
где 
— процентная точка стандартного нормального распределения.
Из (15.10), (15.11), (15.15) окончательно сформулируем алгоритм обнаружения сигнала:
(15.16)
Этот алгоритм состоит в вычислении корреляционной суммы 
и сравнении ее с порогом, который определяется известными априори вероятностью ложной тревоги а, дисперсией помехи 
и мощностью детерминированного сигнала 
Этот алгоритм реализует дискретный коррелометр (рис. 15.1).
При байесовской трактовке критерия Неймана — Пирсона (см. п. 13.1.9) порог с в алгоритме (15.11) представляет (при равновероятных гипотезе и альтернативе) отношение платы за ложную тревогу к плате за пропуск сигнала.
Рис. 15.1. Структурная схема дискретного коррелометра
При уменьшении требуемой вероятности а ложных тревог повышается порог [см. (15.15)] и, следовательно, увеличивается плата за ложную тревогу.
