2.3.3. Числовые характеристики совокупности случайных величин.

Наиболее общей числовой характеристикой совокупности случайных величин является следующий смешанный момент совместного распределения:

где — любые положительные числа (включая и нуль),

При из (2.44) получаем среднее значение случайной величины

Смешанный центральный момент второго порядка случайных величин и

называется ковариацией случайных величин g и При ковариация представляет дисперсию случайной величины Безразмерное отношение

где называется коэффициентом корреляции случайных величин и

Можно доказать (используя неравенство Буняковского — Шварца), что

Если случайные величины и независимы, то Обратное утверждение о независимости и при в общем случае несправедливо. Две случайные величины, для которых коэффициент корреляции равен нулю, называются некоррелированными. Таким образом, независимые случайные величины всегда некоррелированы, но не наоборот.

Если ограничиться моментами порядка не выше второго, то совокупность случайных величин можно характеризовать вектором средних

и ковариационной (корреляционной) матрицей [см. (2.46)]

где — матрица коэффициентов корреляции, а — диагональная матрица с элементами , на главной диагонали.

Ковариационная матрица представляет симметричную, положительно определенную матрицу размером

Положительная определенность матрицы означает, что для любых действительных чисел

(2.51 а)

или в векторной форме

(2.51 б)

где вектор-строка . Необходимое и достаточное условие положительной определенности матрицы записывается в виде

(2.51 в)

2.3.4. Условные функции распределения. Рассмотрим совокупность зависимых случайных величин и используем правило умножения для определения вероятности пересечения событий , где — малая окрестность точки

[см. (2.41)]

Когда область стягивается в точку получаем функцию

которая называется условной функцией распределения случайного вектора при условии, что зависимый от него случайный вектор .

Для совокупности двух случайных величин получаем из (2.52)

Вычисляя смешанную производную от по получаем условную плотность вероятности

Для совокупности двух случайных величин из (2.54) следует

Формулу (2.54) можно переписать в форме, аналогичной форме правила умножения для случайных событий:

а также

Заметим, что этот аналог правила умножения для случайных величин выражается через плотности вероятности, а не через функции распределения.

Из (2.56) следуют аналоги формулы полной вероятности

и формулы Байеса

Для совокупности двух случайных величин из (2.58) из (2.59) получаем

(2.61)