Глава 18. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНО-АНАЛОГОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ АДДИТИВНЫХ ПОМЕХ

18.1. АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ НЕЗАВИСИМОЙ ПОМЕХИ

18.1.1. Синтез алгоритма.

Рассмотрим задачу обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой помехи с плотностью распределения органичиваясь классом дискретно-аналоговых алгоритмов. После временной дискретизации наблюдаемой реализации в моменты времени получаем выборку размером , и тогда задача обнаружения сигнала состоит в проверке гипотезы Н (сигнала нет):

против альтернативы К (сигнал присутствует):

(18.16)

Если выполнены условия теоремы 1 (см. п. 17.4.1), то асимптотически оптимальный дискретно-аналоговый алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой помехи имеет следующий вид:

где

Предельное (при ) распределение статистики (18.2) нормальное с параметрами при гипотезе Н и с параметрами при альтернативе К. Величина определяется согласно (17.56), — информация по Фишеру для помехи [см. (17.22)]. Заметим, что статистика при гипотезе Н всегда центрирована, даже если распределение помехи несимметрично.

18.1.2. Анализ алгоритма.

Предельная рабочая характеристика алгоритма (18.2)

где — процентные точки стандартного нормального распределения для заданных вероятностей а ложной тревоги и правильного обнаружения сигнала.

При этом в (18.2) порог

Отметим, что при фиксированных значениях формула (18.4) определяет минимально необходимую (пороговую) амплитуду сигнала

Определим КАОЭ асимптотически оптимального алгоритма (18.2) по отношению к линейному алгоритму

оптимальному при любом размере выборки, если помеха гауссовская. Так как рабочая характеристика алгоритма (18.7) обнаружения сигнала на фоне аддитивной центрированной гауссовской помехи с дисперсией [см. (15.20)]

то, используя формулу (17.11), находим из (18.4) и (18.8) искомый КАОЭ

[см. (17.22)]

(18.10)

18.1.3. Структурная схема алгоритма.

Алгоритм обнаружения сигнала (18.2) допускает простую интерпретацию (рис. 18.1). Обнаружитель сигнала состоит из трех блоков: безынерционного нелинейного преобразователя наблюдаемых выборок, дискретного коррелометра, устройства сравнения с порогом выхода коррелометра. Характеристика нелинейного преобразователя зависит только от распределения помехи. Размер порога определяется вероятностью а ложной тревоги, мощностью сигнала и информацией по Фишеру о помехе:

18.1.4. Информация по Фишеру для некоторых типов помех.

Найдем информацию по Фишеру для помех с фиксированной дисперсией и часто используемыми распределениями вероятностей.

Рис. 18.1. Схема асимптотически оптимального обнаружителя детерминированного сигнала на фоне независимой помехи

Для центрированной гауссовской помехи с плотностью

из (18.10) получим

(18.12)

Для лаплассовского распределения с плотностью

из (18.10) получим

(18.14)

Рассмотрим обобщенное экспоненциальное распределение с плотностью

(18.15)

где

(18.15 а)

Функция (18.15) (рис. 18.2) симметрична относительно нуля, унимодальна, а параметр представляет дисперсию. Нормальное и лапласовское распределения являются частными случаями (18.15) при и соответственно. Информация по Фишеру для помехи с плотностью (18.15)

(18.16)

Для логического распределения с плотностью

из (18.10) после замены переменной интегрирования

получим

(18.18)

Заметим, что при плотности лапласовского и логического распределений, как и плотность

(18.19)

практически совпадают.

Рассмотрим обобщенное распределение Стьюдента с плотностью

(18.20)

где

(18.20 а)

Рис. 18.2. Обобщенное экспоненциальное распределение

Рис. 18.3. Распределение Стьюдента

причем бета- и гамма-функции связаны соотношением

Плотность (18.20) симметрична относительно нуля, унимодальна, параметр представляет дисперсию. При из (18.20) получаем известное распределение Стьюдента с степенями свободы [ср. с (14.111)}:

Ha рис. 18.3 построена зависимость (18.21) для штриховой линией показана плотность нормального распределения. Информация по Фишеру для помехи с плотностью (18.20)

(18.22)

При (распределение Стьюдента) из (18.22) следует

(18.23)

При из (18.23) следует как и должно быть, потому что при функция (18.21) сходится к плотности нормального распределения (см. п. 14.5.4).

Заметим, что во всех рассмотренных случаях причем знак равенства соответствует гауссовской помехе. Можно доказать (см. [7], с. 558), что в классе всех дифференцируемых плотностей с заданной дисперсией значение информации по Фишеру минимально при нормальном распределении.

18.1.5. Характеристики нелинейных преобразователей для некоторых типов помех и соответствующие асимптотически оптимальные алгоритмы обнаружения.

Для гауссовской помехи с нулевым средним и дисперсией из (18.3) и (18.11) получим

(18.24)

т. е. характеристика преобразователя линейная. Асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения в этом случае совпадает с оптимальным по критерию Неймана — Пирсона алгоритмом обнаружения сигнала при любом размере выборки [см. (18.7)].

Рис. 18.4. Характеристика идеального ограничителя

Для лапласовской помехи с плотностью (18.13)

(18.25)

где — знаковая функция [см. (13.63)]. Нелинейный преобразователь наблюдаемых выборок представляет в этом случае идеальный ограничитель (рис. 18.4). Подставляя (18.25) в (18.2) и учитывая (18.5), (18.24), находим асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой лапласовской помехи

(18.26)

Для обобщенного экспоненциального распределения [см. (18.15)]

Для помехи с логическим распределением [см. (18.17)]

Нелинейный преобразователь в этом случае представляет сглаженный ограничитель (рис. 18.5). Аналогичная характеристика преобразователя получается и для помехи с плотностью (18.19).

Подставляя (18.28) в (18.2) и учитывая (18.5), (18.18), находим асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой логистической помехи

Рис. 18.5. Характеристика сглаженного ограничителя

Рис. 18.6. Характеристика нелинейного преобразователя для помехи, распределенной по закону Стьюдента

Для помехи с распределением Стьюдента [см. (18.21)]

(18.30)

Зависимость (18.30) при представлена на рис. 18.6.

Подставляя (18.30) в (18.2) и учитывая (18.5), (18.23), находим асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой помехи, распределенной по закону Стьюдента

(18.31)

Для обобщенного распределения Стьюдента [см. (18.20)]

(18.32)

18.1.6. Эффективность асимптотически оптимальных алгоритмов относительно линейного.

Линейный алгоритм (18.7), наиболее простой для практической реализации, оптимален только при обнаружении детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой гауссовской помехи. Если линейный алгоритм используется для обнаружения сигнала на фоне негауссовской помехи, то его рабочая характеристика ухудшается, иногда весьма существенно. С другой стороны, при произвольном распределении помехи можно использовать асимптотически оптимальный алгоритм (18.2), который хотя и сложнее линейного, но обладает лучшей рабочей характеристикой. Количественным показателем такого улучшения служит КАОЭ, определяемый по формуле (18.9).

Воспользуемся результатами п. 18.1.4 для определения КАОЭ асимптотически оптимальных алгоритмов обнаружения сигнала по отношению к линейному для некоторых типов аддитивных помех. Дисперсия помехи во всех рассматриваемых случаях одинакова. При обнаружении на фоне гауссовской помехи [см. (18.12)] как и следует ожидать,

(18.33)

При обнаружении на фоне лапласовской помехи [см. (18.14)]

(18.34)

т. е. асимптотически оптимальный алгоритм эффективнее линейного в два раза. При обнаружении на фоне логистической помехи [см. (18.18)]

(18.35)

При обнаружении на фоне помехи, распределенной по закону Стьюдента [см. (18.23)],

(18.36)

Из (18.36) следует, что при увеличении параметра v КАОЭ монотонно уменьшается и стремится к единице при .

Если v — целое число, то максимальное значение КАОЭ соответствующее .