7.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

7.3.1. Характеристика задачи.

Как следует из результатов, приведенных в § 7.1, 7.2, задача определения корреляционной функции и спектральной плотности мощности процесса на выходе линейной системы является достаточно простой и не требует знания функций распределения входного процесса. Значительно сложнее определить функции распределения случайного процесса на выходе линейной системы.

Только в частном случае, когда процесс на входе линейной системы гауссовский, указанная задача решается просто. Случайный процесс на выходе линейной системы с дискретным временем представляет предел при (в среднеквадратическом) суммы , а случайный процесс на выходе линейной системы с непрерывным временем — предел в среднеквадратическом интегральной суммы в том и в другом случаях входные случайные величины представляют совокупности зависимых гауссовских случайных величин. Так как линейная комбинация произвольно зависимых гауссовских случайных величин также гауссовская случайная величина (см. п. 3.3.8), то распределения рассматриваемых сумм при любом N гауссовские (нормальные). Следовательно, распределение вероятностей случайного процесса на выходе линейной системы, когда на ее вход действует гауссовский случайный процесс, нормальное. При этом преобразуются лишь корреляционные функции и спектральные плотности мощности в соответствии с приведенными ранее формулами.

Заметим здесь, что «гауссовость» (нормальное распределение) белого шума устанавливается по нормальному распределению процесса на выходе линейной системы, когда на ее входе действует белый шум.

Уже отмечалось, что типичным для радиотехнических устройств является анализ линейной системы, расположенной после нелинейного элемента. Поэтому даже тогда, когда нелинейному преобразованию подвергается гауссовский случайный процесс, процесс на входе последующей линейной системы уже не является гауссовским.

Задача о преобразовании функций распределения в линейной динамической (инерционной) системе, когда на входе ее действует негауссовский случайный процесс, чрезвычайно трудна. Как было показано в п. 3.1.4, для определения одномерной плотности линейной комбинации случайных величин (т. е. процесса на выходе линейной системы с дискретным временем) необходимо вычислить -кратный интеграл. Еще более сложной является эта задача в случае линейной системы с непрерывным временем. Приемлемого для практического использования точного решения этой задачи до сих пор нет.

Существует несколько приближенных методов решения, каждый из которых базируется на специальных предположениях вероятностных характеристик входного случайного процесса и свойств самой линейной системы. В гл. 11 будет рассмотрена эта задача в предположении, что процесс на входе линейной системы является квадратом гауссовского случайного процесса. Здесь же рассмотрим общий приближенный метод, основанный на вычислении моментов процесса на выходе линейной системы. Ради упрощения изложения ограничимся приближенным определением одномерной функции распределения стационарного процесса на выходе линейной системы с Постоянными параметрами. Обобщение на многомерные функции и нестационарные процессы не встречает принципиальных трудностей, хотя сложность вычислений может оказаться непреодолимой.

Приближенный метод решения рассматриваемой задачи с использованием модели так называемых линейных случайных процессов предложен в [16].

7.3.2. Связь моментов процесса на выходе линейной системы с моментными функциями процесса на входе.

Из (6.14) и (6.28) находим соотношения, связывающие моменты процесса на выходе линейной системы с постоянными параметрами с моментными функциями входного стационарного случайного процесса и импульсной характеристикой системы.

Для линейной системы с дискретным временем

Обозначая через моментную функцию входной последовательности, получим из (7.83)

т. е. для определения -мерной моментной функции выходной последовательности необходимо знать -мерную функцию распределения входной последовательности.

Для линейной системы с непрерывным временем

Обозначая через моментную функцию входного случайного процесса, получаем из (7.85)

Как и для системы с дискретным временем, для определения величины необходимо знать -мерную функцию распределения входного случайного процесса.

Заметим, что при формулы (7.84) и (7.86), как и следовало ожидать, соответствуют формулам (7.7), (7.9), (7.45 а, б).

7.3.3. Аппроксимация одномерного распределения вероятностей процесса на выходе линейной системы рядами по ортогональным полиномам.

Используя ограниченное число моментов процесса на выходе линейной системы, определенных по формулам п. 7.3.2, можно получить с допустимой погрешностью приближенное представление об одномерном распределении вероятностей указанного процесса на основе ортогонального разложения его плотности вероятности (см. § 2.5).

Как и в п. 2.5.2, будем предполагать, что рассматривается аппроксимация плотности центрированного процесса после того, как вычислены средние значения и дисперсии процесса на выходе линейной системы.

Из (2.87), перегруппировывая члены ряда для усиления его сходимости и используя связи моментов с кумулянтами (см. п. 3.3.2), получаем аппроксимацию искомой плотности вероятностей в форме ряда Эджворта:

где — коэффициент асимметрии, — коэффициент эксцесса.

Аналогично из (2.92) и (2.95) можно получить аппроксимацию рядами по полиномам Ляггера и Чебышева. Иногда для аппроксимации используют систему плотностей Пирсона, параметры которой полностью определяются кумулянтами первых четырех порядков (см., например, [6]).

7.3.4. Интегрирование телеграфного сигнала.

Проиллюстрируем указанный метод определения распределения на выходе линейной системы на примере случайного стационарного в широком смысле телеграфного сигнала (см. задачу 5.6), который состоит из прямоугольных посылок случайной длительности, принимающих два значения: h и —h (далее полагаем что несущественно). Пусть случайный телеграфный сигнал поступает на вход С-интегратора (см. п. 7.2.6). Найдем моменты одномерного распределения на его выходе. Для этого в соответствии с п. 7.3.2 необходимо найти сначала Используя результаты задали 5.6 и применяя метод полной математической индукции, получаем

или при

где X — среднее число перемен знаков телеграфного сигнала в единицу времени.

Из (7.86) и (7.89) следует прежде всего, что плотность вероятности процесса на выходе любой линейной системы, когда на ее вход поступает телеграфный сигнал, симметрична всегда, так как при k — нечетном, т. е. моменты нечетного порядка этого распределения обращаются в нуль.

Импульсная характеристика С-интегратора

Подставляя (7.89) и (7.90) в (7.86), получаем для k четного

Из (7.91) при находим дисперсию процесса на выходе интегратора

Для вычисления интеграла (7.91) при произвольном конечном k снова можно использовать метод полной математической индукции. В результате

Заметим, что величина равна отношению ширины полосы частот спектра телеграфного сигнала к ширине полосы частот -интегратора.

Используя элементарное соотношение для гамма-функции и определение бета-функции [см. (1.23 в)], можно формулу (7.93) представить в виде

Нетрудно убедиться, что (7.92) получается из (7.94) при Сравнивая (7.94) с (46) задачи 2.2, убеждаемся, что моменты порядка исследуемого процесса совпадают с моментами порядка случайной величины , имеющей бета-распределение. Таким образом, моменты процесса на выходе интегратора представляют моменты случайной величины распределение которой получаем формулы (4а) задачи 2.2. Так как в рассматриваемом случае , то, используя известное правило определения распределений при функциональном преобразовании случайной величины, получаем одномерную плотность вероятности процесса на выходе интегрирующей схемы, когда на ее вход действует телеграфный сигнал:

Эта плотность зависит только от одного параметра — отношения полосы энергетического спектра телеграфного сигнала к полосе интегрирующей схемы. Функцию распределения процесса на выходе интегратора нетрудно выразить через неполную бета-функцию.

При из (7.95) получаем плотность вероятности синусоиды со случайной, равномерно распределенной фазой (см. задачу 3.8)

Нетрудно найти коэффициенты эксцесса распределения (7.95)

и записать первые два члена ряда (7.87)

где

При для узкополосного интегратора приходим к нормальному распределению.

Для широкополосного интегратора и из (7.95) находим

При из (7.98) получаем плотность вероятности телеграфного сигнала

Заметим, что при распределение сигнала на выходе интегратора равномерное, при параболическое, а при - эллиптическое.

Интересно отметить, что распределение вида (7.95) характеризует также процесс на выходе рассмотренного RС-ингегратора, если на его вход действует процесс, равный причем - гауссовский случайный процесс, нормированная корреляционная функция которого Если обозначить то, как показано в [29], распределение процесса на выходе интегратора получается из (7.95) заменой величиной

7.3.5. Нормализация случайного процесса на выходе фильтра.

Как отмечалось в п. 7.3.4, процесс на выходе низкочастотного фильтра (интегратора) приобретает свойства гауссовского процесса, когда отношение ширины полосы частот фильтра к ширине полосы частот энергетического спектра входного процесса стремится к нулю. Эта тенденция к нормализации, т. е. к приближению распределения процесса на выходе низкочастотного фильтра к нормальному (гауссовскому), имеет общий характер при что является следствием центральной предельной теоремы для стационарных случайных процессов, удовлетворяющих условию сильного перемешивания (см. п. 5.2.7).

Качественно явление нормализации можно объяснить следующим образом. Допустим, что в реальных ситуациях центрированный процесс на входе принадлежит классу Т — зависимых процессов (см. п. 4.2.9). Интервал корреляции входного процесса то откуда следует, что полоса частот энергетического спектра причем Предположим, что процесс на выходе фильтра можно аппроксимировать суммой независимых случайных величин

так как при независимы. Условия центральной предельной теоремы будут выполнены, если и - медленно меняющаяся на интервале Т функция. Последнее условие означает, что полоса частот фильтра или Строгое доказательство нормализации Т-зависимых процессов на выходе низкочастотного узкополосного фильтра приведено в [30].