Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
7.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ7.3.1. Характеристика задачи.Как следует из результатов, приведенных в § 7.1, 7.2, задача определения корреляционной функции и спектральной плотности мощности процесса на выходе линейной системы является достаточно простой и не требует знания функций распределения входного процесса. Значительно сложнее определить функции распределения случайного процесса на выходе линейной системы. Только в частном случае, когда процесс Заметим здесь, что «гауссовость» (нормальное распределение) белого шума устанавливается по нормальному распределению процесса на выходе линейной системы, когда на ее входе действует белый шум. Уже отмечалось, что типичным для радиотехнических устройств является анализ линейной системы, расположенной после нелинейного элемента. Поэтому даже тогда, когда нелинейному преобразованию подвергается гауссовский случайный процесс, процесс на входе последующей линейной системы уже не является гауссовским. Задача о преобразовании функций распределения в линейной динамической (инерционной) системе, когда на входе ее действует негауссовский случайный процесс, чрезвычайно трудна. Как было показано в п. 3.1.4, для определения одномерной плотности линейной комбинации Существует несколько приближенных методов решения, каждый из которых базируется на специальных предположениях вероятностных характеристик входного случайного процесса и свойств самой линейной системы. В гл. 11 будет рассмотрена эта задача в предположении, что процесс на входе линейной системы является квадратом гауссовского случайного процесса. Здесь же рассмотрим общий приближенный метод, основанный на вычислении моментов процесса на выходе линейной системы. Ради упрощения изложения ограничимся приближенным определением одномерной функции распределения стационарного процесса на выходе линейной системы с Постоянными параметрами. Обобщение на многомерные функции и нестационарные процессы не встречает принципиальных трудностей, хотя сложность вычислений может оказаться непреодолимой. Приближенный метод решения рассматриваемой задачи с использованием модели так называемых линейных случайных процессов предложен в [16]. 7.3.2. Связь моментов процесса на выходе линейной системы с моментными функциями процесса на входе.Из (6.14) и (6.28) находим соотношения, связывающие моменты процесса на выходе линейной системы с постоянными параметрами с моментными функциями входного стационарного случайного процесса и импульсной характеристикой системы. Для линейной системы с дискретным временем
Обозначая через
т. е. для определения Для линейной системы с непрерывным временем
Обозначая через
Как и для системы с дискретным временем, для определения величины Заметим, что при 7.3.3. Аппроксимация одномерного распределения вероятностей процесса на выходе линейной системы рядами по ортогональным полиномам.Используя ограниченное число моментов процесса на выходе линейной системы, определенных по формулам п. 7.3.2, можно получить с допустимой погрешностью приближенное представление об одномерном распределении вероятностей указанного процесса на основе ортогонального разложения его плотности вероятности (см. § 2.5). Как и в п. 2.5.2, будем предполагать, что рассматривается аппроксимация плотности центрированного процесса после того, как вычислены средние значения и дисперсии процесса на выходе линейной системы. Из (2.87), перегруппировывая члены ряда для усиления его сходимости и используя связи моментов с кумулянтами (см. п. 3.3.2), получаем аппроксимацию искомой плотности вероятностей в форме ряда Эджворта:
где Аналогично из (2.92) и (2.95) можно получить аппроксимацию рядами по полиномам Ляггера и Чебышева. Иногда для аппроксимации используют систему плотностей Пирсона, параметры которой полностью определяются кумулянтами первых четырех порядков (см., например, [6]). 7.3.4. Интегрирование телеграфного сигнала.Проиллюстрируем указанный метод определения распределения на выходе линейной системы на примере случайного стационарного в широком смысле телеграфного сигнала (см. задачу 5.6), который состоит из прямоугольных посылок случайной длительности, принимающих два значения: h и —h (далее полагаем
или при
где X — среднее число перемен знаков телеграфного сигнала в единицу времени. Из (7.86) и (7.89) следует прежде всего, что плотность вероятности процесса на выходе любой линейной системы, когда на ее вход поступает телеграфный сигнал, симметрична всегда, так как Импульсная характеристика С-интегратора
Подставляя (7.89) и (7.90) в (7.86), получаем для k четного
Из (7.91) при
Для вычисления интеграла (7.91) при произвольном конечном k снова можно использовать метод полной математической индукции. В результате
Заметим, что величина Используя элементарное соотношение для гамма-функции
Нетрудно убедиться, что (7.92) получается из (7.94) при
Эта плотность зависит только от одного параметра При
Нетрудно найти коэффициенты эксцесса распределения (7.95)
и записать первые два члена ряда (7.87)
где При Для широкополосного интегратора
При
Заметим, что при Интересно отметить, что распределение вида (7.95) характеризует также процесс на выходе рассмотренного RС-ингегратора, если на его вход действует процесс, равный 7.3.5. Нормализация случайного процесса на выходе фильтра.Как отмечалось в п. 7.3.4, процесс на выходе низкочастотного фильтра (интегратора) приобретает свойства гауссовского процесса, когда отношение ширины полосы частот фильтра Качественно явление нормализации можно объяснить следующим образом. Допустим, что в реальных ситуациях центрированный процесс на входе
так как
|
1 |
Оглавление
|