1.3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИИ

1.3.1. Биномиальная формула.

Многочисленные практические задачи укладываются в следующую схему последовательности независимых испытаний, называемую иногда схемой Бернулли. Пусть производится независимых испытаний (повторений эксперимента при неизменных условиях). В результате каждого испытания с вероятностью появляется событие А. Вероятность противоположного события А, т. е. непоявления события А, равна Необходимо определить вероятность того, что в данной последовательности независимых испытаний событие А появилось точно k раз, Решение этой задачи, которое получается простым применением правил сложения и умножения, описывается следующей формулой:

где

число сочетаний из элементов по k. Нетрудно заметить, что равно коэффициенту при в разложении бинома по степеням Поэтому формулу (1.20) часто называют биномиальной.

Функция целочисленного аргумента достигает максимума при

где символ означает целую часть числа х.

Вероятность того, что событие А появится не более раз:

Сумма в правой части (1.22) равна отношению неполной бета-функции к полной

где неполная и полная бета-функции представляются интегралами

(1.23 б)

(1.23 в )

Для того чтобы убедиться в справедливости равенства (1.23 а), достаточно подставить в его правую часть интеграл (1.236), продифференцировать обе части по q и воспользоваться табличным выражением

где

(1.23 г)

— гамма-функция, которая при целочисленном аргументе (1.23 д)

1.3.2. Асимптотика Муавра — Лапласа.

В тех случаях, когда число независимых испытаний велико, непосредственное вычисление вероятностей по формуле (1.20) представляет большие трудности, так как при этом определение биномиальных коэффициентов связано с вычислением факториалов при больших аргументах. Факториал можно с достаточной точностью получить, применив так называемую асимптотическую формулу Стирлинга

Используя формулу Стирлинга, при из (1.20) с точностью до малых порядка можно получить следующее асимптотическое равенство:

где

Формула (1.24), которую иногда называют локальной формулой Муавра — Лапласа, является искомым асимптотическим приближением вероятности точное значение которой дается биномиальной формулой (1.20).

Вероятность того, что число появлений события при независимых испытаниях находится пределах от до можно подсчитать с помощью асимптотической формулы

где

Формула (1.25) является аналитическим выражением так называемой интегральной теоремы Лапласа.

1.3.3. Асимптотика Пуассона.

Во многих практических задачах, относящихся к схеме последовательности большого числа независимых испытаний , вероятность появления события при одиночном испытании относительно мала, так что

где — положительная величина.

Рассмотрим вероятность того, что событие А при испытаниях не появляется вовсе. На основании (1.20) и (1.26) эту вероятность можно представить в виде

откуда

Если , то в разложении логарифма в ряд можно ограничиться первым членом, тогда

Далее при фиксированном

При из (1.27) и (1.28) следует

Аналогично при k = 2 имеем При любом целом k получаем асимптотическую формулу Пуассона

Используя (1.29), находим вероятность того, что событие появляется не более m раз:

Функцию можно представить интегралом

(1.30а)

При интеграл (1.30а) — гамма-функция которая при целочисленном аргументе равна [см. (1.23 г и д)]. Интеграл

называется неполной гамма-функцией. Формула (1.30) может быть записана следующим образом: