Функция 
целочисленного аргумента достигает максимума при
где символ 
означает целую часть числа х.
Вероятность того, что событие А появится не более 
раз:
Сумма в правой части (1.22) равна отношению неполной бета-функции к полной
где неполная 
и полная 
бета-функции представляются интегралами
(1.23 б)
(1.23 в )
Для того чтобы убедиться в справедливости равенства (1.23 а), достаточно подставить в его правую часть интеграл (1.236), продифференцировать обе части по q и воспользоваться табличным выражением
где
(1.23 г)
— гамма-функция, которая при целочисленном аргументе 
(1.23 д)
1.3.2. Асимптотика Муавра — Лапласа.
В тех случаях, когда число независимых испытаний велико, непосредственное вычисление вероятностей по формуле (1.20) представляет большие трудности, так как при этом определение биномиальных коэффициентов связано с вычислением факториалов при больших аргументах. Факториал можно с достаточной точностью получить, применив так называемую асимптотическую формулу Стирлинга
Используя формулу Стирлинга, при 
из (1.20) с точностью до малых порядка 
можно получить следующее асимптотическое равенство:
где
Формула (1.24), которую иногда называют локальной формулой Муавра — Лапласа, является искомым асимптотическим приближением вероятности 
точное значение которой дается биномиальной формулой (1.20).
Вероятность того, что число появлений события при 
независимых испытаниях находится 
пределах от 
до 
можно подсчитать с помощью асимптотической формулы
где
Формула (1.25) является аналитическим выражением так называемой интегральной теоремы Лапласа.
1.3.3. Асимптотика Пуассона.
Во многих практических задачах, относящихся к схеме последовательности большого числа независимых испытаний 
, вероятность появления события при одиночном испытании относительно мала, так что
где 
— положительная величина.
Рассмотрим вероятность того, что событие А при 
испытаниях не появляется вовсе. На основании (1.20) и (1.26) эту вероятность можно представить в виде
откуда
Если 
, то в разложении логарифма в ряд можно ограничиться первым членом, тогда
Далее при фиксированном 
При 
из (1.27) и (1.28) следует 
Аналогично при k = 2 имеем 
При любом целом k получаем асимптотическую формулу Пуассона
Используя (1.29), находим вероятность того, что событие появляется не более m раз:
Функцию 
можно представить интегралом
(1.30а)
При 
интеграл (1.30а) — гамма-функция 
которая при целочисленном аргументе равна 
[см. (1.23 г и д)]. Интеграл
называется неполной гамма-функцией. Формула (1.30) может быть записана следующим образом:
независимых испытаний (повторений эксперимента при неизменных условиях). В результате каждого испытания с вероятностью 
появляется событие А. Вероятность противоположного события А, т. е. непоявления события А, равна 
Необходимо определить вероятность 
того, что в данной последовательности 
независимых испытаний событие А появилось точно k раз, 
Решение этой задачи, которое получается простым применением правил сложения и умножения, описывается следующей формулой:
элементов по k. Нетрудно заметить, что 
равно коэффициенту при 
в разложении бинома 
по степеням 
Поэтому формулу (1.20) часто называют биномиальной.
