Глава 6. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ

6.1. КЛАССИФИКАЦИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ

6.1.1. Определение модели системы.

Для решения многих задач, возникающих при разработке и исследовании радиотехнических систем, систем связи и управления и других информационных технических систем используют математические модели систем. Такие модели представляют формализованное количественное описание системы без детализации ее физических особенностей. В этом смысле математические модели обладают универсальностью, так как одну модель можно использовать для многих технических систем различного назначения.

Математическая модель системы определяется оператором S отображения множества X значений сигналов на входе системы на множество Y значений сигналов на выходе системы

Сигналы на входе системы и на ее выходе являются функциями времени, т. е. отображениями множества моментов времени Т на множества X и Y соответственно. В дальнейшем функции будем называть входным и выходным сигналами или кратко: «вход» и «выход».

Отметим, что приведенное определение (6.1) математической модели системы можно отнести к любому техническому объекту.

6.1.2. Системы с дискретным и непрерывным временем.

Различают два класса систем: с дискретным временем, когда область Т определения входных и выходных сигналов представляет конечное или счетное множество времени, и с непрерывным, временем, когда указанная область — континуум.

Системы с непрерывным временем называют аналого-дискретными, если множества X и Y значений сигналов — конечные или счетные. Их называют аналоговыми, если указанные множества — континуумы.

Системы с дискретным временем называют цифровыми, еслш множества X и Y — конечные или счетные. Их называют дискретно-аналоговыми, если указанные множества — континуум.

6.1.3. Характеристики системы.

Отображение (6.1) можно записать в виде функционала

представляющего зависимость выходного сигнала в произвольный момент t от всех предыдущих значений входного сигнала на интервале от до t. В такой форме характеристика (6.2) учитывает условие физической реализуемости системы, согласно которому реакция системы, обусловленная предыдущими значениями входного воздействия, не зависит от последующих (причина не может опережать следствие). Обозначение F указывает на зависимость вида функционала или его параметров от времени. Если такая зависимость отсутствует, т. е. если выходной сигнал зависит от времени t только через входной сигнал, то систему называют инвариантной во времени (или системой с постоянными во времени параметрами).

Соотношение (6.2) назовем характеристикой «вход — выход» системы.

Предположим теперь, что значения выходного сигнала известны лишь на конечном интервале времени . В этом случае значение выходного сигнала зависит не только от заданного отрезка входного сигнала, но и от состояния системы в начальный момент

Состояние системы также изменяется во времени согласно уравнению перехода

Для инвариантной во времени системы индекс t у функционалов F, G и D должен быть опущен.

Соотношения (6.3) и (6.4) назовем характеристикой «вход — состояние — выход» системы.

Система, у которой выходной сигнал зависит от значений входного сигнала в моменты времени, предшествовавшие моменту t наблюдения выходного сигнала, называется физически реализуемой динамической (инерционной или системой «с памятью»). Характеристика такой системы представляется функционалом (6.2) или двумя функционалами (6.3) и (6.4).

Если значение выходного сигнала в момент наблюдения определяется значением входного сигнала только в тот же самый момент времени то система называется статической (неинерционной или системой «без памяти»). В этом случае характеристика «вход — выход» системы представляется уже не функционалом, а функцией (в общем нелинейной)

где Т — счетное множество или континуум.

6.1.4. Аппроксимация характеристики «вход — выход» статической системы.

Нелинейную функцию представляющую, характеристику статической системы, часто аппроксимируют элементарными функциями, например степенными. Б соответствии с теоремой Вейерштрасса [23] любая функция, непрерывная на ограниченном замкнутом интервале, может быть аппроксимирована с любой заданной точностью полиномом, степень которого определяет точность аппроксимации. Таким образом, характеристика (6.5) статической (инвариантной во времени) системы записывается в виде полинома

при подолнительном начальном условии

Для полиномиальной аппроксимации (6.6) можно использовать ортогональные полиномы (см. п. 2.5.1) или частичную сумму ряда Маклорена. При этом константы определяются коэффициентами разложения функции в ортогональном базисе, а при разложении в ряд Маклорена — по известной формуле

6.1.5. Аппроксимация характеристики «вход — выход» динамической системы.

Для инвариантной динамической системы с дискретным временем функционал (6.2), определяющий характеристику «вход — выход», можно представить в виде функции счетного числа переменных

Здесь и в дальнейшем для сигналов с дискретным временем используются обозначения При дискретизации с периодом Т величина

Разлагая функцию многих переменных в кратный степенной ряд, представим характеристику (6.7) в виде

Заданная точность аппроксимации функции (6.7) определяет необходимое число слагаемых в (6.8).

Для инвариантной динамической системы с непрерывным временем функционал (6.2) можно аппроксимировать с любой заданной точностью функциональным рядом Волътерра:

Разработаны методы определения весовых коэффициентов — и весовых функций с помощью ортогональных функций. Одним из них является метод Винера [1,24].

6.1.6. Линейные системы.

На практике широко используется подкласс линейных моделей систем. Система называется линейной, если она удовлетворяет двум условиям: аддитивности (принципу суперпозиции) и однородности.

Пусть (-выходные сигналы системы при входных сигналах ) соответственно. Условие аддитивности выполнено, если при входном сигнале выходной сигнал для произвольных констант си и произвольных сигналах .

Пусть -выходной сигнал системы при входном Условие однородности выполнено, если при входном сигнале выходной сигнал равен произвольной константе с и произвольном сигнале