13.8.10. Среднее и дисперсия линейной знаково-ранговой статистики.

Из (13.192 а и б) с учетом независимости векторов при гипотезе Н

так как

Дисперсия статистики при гипотезе

Так как

и, следовательно, при гипотезе H

(13.195)

При из (13.194) и (13.195) получим

(13.196)

Для определения среднего значения статистики при альтернативе К обратимся к формуле (13.193 а). Двойная сумма содержит членов при членов при Статистика равна числу тех случаев, когда Следовательно, при альтернативе К

Так как при альтернативе К сдвига то

и для независимой однородной выборки

где — функция распределения выборочных значений.

Из приведенных соотношений следует, что при альтернативе К

(13.197)

Так как симметрична относительно нуля, то при сближении альтернативы с гипотезой, т. е. при малом а, имеем [см. (13.189)]

Далее заменяя разлагая функцию в ряд Тейлора по степеням малого параметра а, получаем

Подставляя полученные выражения в (13.197), находим при для альтернативы К

(13.198 а)

Можно показать, что при тех же условиях для альтернативы К

(13.1986)

т. е. для дисперсии статистики асимптотические соотношения для гипотезы и для альтернативы совпадают [см. (13.196)].