Глава 21. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ

21.1. ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ АДДИТИВНОЙ ГАУССОВСКОЙ ПОМЕХИ

21.1.1. Постановка задачи в априорные данные.

Обозначим через реализацию случайного процесса наблюдаемую на интервале . Априори предполагается, что процесс представляет аддитивную смесь детерминированного сигнала и случайной помехи

где

— вектор неизвестных параметров сигнала.

Необходимо на основании определенного правила (алгоритма), оптимального по некоторому критерию, сформировать вектор оценок неизвестных параметров сигнала как векторный функционал от наблюдаемой реализации:

причем , так как обычно пространство оценок совпадает с пространством оцениваемых параметров.

Задача оценивания неизвестных параметров сигнала на фоне помехи в отличие от задач обнаружения и различения сигналов представляет вторую разновидность задач теории статистических решений (см. п. 12.1.2). Для ее решения необходимы дополнительные априорные данные.

Будем предполагать, что аддитивная помеха - центрированный гауссовский случайный процесс с известной корреляционной функцией . Сначала рассмотрим аналоговый алгоритм оценивания, оптимальный по критерию максимального правдоподобия (см. п. 14.6.3). Для указанных априорных данных логарифм функционала отношения правдоподобия с (15.56)]

где - решение неоднородного линейного интегрального уравнения

21.1.2. Оценки максимального провдоподобия.

Аналоговые оценки максимального правдоподобия получаются решением системы уравнений максимального правдоподобия [см. (14.136]). Для этого определим, прежде всего, частные производственные по параметрам от логарифма функционала отношения правдоподобия (21.4):

Но из (21.5) следует

Подставляя (21.7) в (21.6), получаем

Из (21.8) непосредственно следует система уравнений максимального правдоподобия

Решая систему уравнений (21.9) относительно неизвестных параметров находим оценку максимального правдоподобия векторного параметра d сигнала

при дополнительном условии, что информационная матрица Фишера с элементами

при положительно определенная (см. п. 14.2.7).

Если представляет белый гауссовский шум со спектральной плотностью , то из (21.5) следует

(21.12)

и система (21.9) значительно упрощается:

(21.13)

Для белого шумд элементы информационной матрицы Фишера [см. (21.11)]

(21.14)

21.1.3. Линейная модель сигнала.

Рассмотрим линейную относительно неизвестных параметров модель сигнала

(21.15)

где — известные функции.

Найдем совместные оценки максимального правдоподобия параметров Подставляя (21.15) в правую часть (21.5), заменяем интегральное уравнение (21.5) системой уравнений

(21.16)

Функция от которой зависит логарифм функционала отношения правдоподобия,

(21.17)

Из (21.17) находим

(21.18)

Подставляя (21.18) в (21.9), получаем систему уравнений максимального правдоподобия

(21.19)

или

(21.20)

Обозначим

(21.216)

Тогда система линейных уравнений (21.19) запишется в виде

(21.22)

или в матричной форме

(21.23)

где — матрица размером элементы которой равны — векторы-столбцы, элементы которых и соответственно.

Полагая, что для всех

(21.24)

и что - положительно определенная функция, приходим к заключению, что существует матрица обратная матрице Тогда решение уравнения (21.23) приводит к следующим оценкам максимального правдоподобия неизвестных параметров:

(21.25)

Используя левую часть (21.19), найдем элементы информационной матрицы Фишера [см. (21.11)]:

(21.26)

Из (21.26) следует, что информационная матрица Фишера положительно определенная вследствие положительной определенности корреляционной функции помехи, причем элементы этой матрицы не зависят от параметров . Таким образом, решение (21.25) действительно представляет оценку максимального правдоподобия векторного параметра

Заметим, что правые части формул (21.21 а) и (21.26) совпадают, т. е. информационная матрица Фишера совпадает с матрицей . Тогда формулу (21.25) можно переписать в виде

(21.27)

Для белого гауссовского шума с интенсивностью из (21.16) следует, что

и элементы матрицы и вектора преобразуются к виду [см. (21.21 а) и (21.216)]

(21.28 б)

21.1.4. Анализ оценки максимального правдоподобия.

Докажем, что векторная оценка (21.25) несмещенная. Из (21.25) находим

(21.29)

Но

и, следовательно,

(21.30)

Подставляя (21.30) в (21.29), получаем

(21.31)

что и доказывает утверждение о несмещенности оценки (21.25) максимального правдоподобия векторного параметра линейной модели сигнала.

Найдем корреляционную матрицу М рассматриваемых оценок максимального правдоподобия

(21.32)

После несложных преобразований и подстановки вместо ее выражения из (21.25) имеем с учетом симметричности матрицы

(21.33)

Но

и, следовательно [см. (21.16)],

(21.34)

Подставляя (21.34) в (21.33), находим

Из (21.36) следует, что рассматриваемые оценки максимального правдопйдобия параметров линейной модели сигнала совместно эффективнее.

21.1.5. Оценку амплитуды детерминированного сигнала.

Рассмотрим оценку максимального правдоподобия неизвестной амплитуды а детерминированного сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи. Эта оценка является частным случаем рассмотренной в п. 21.1.3 оценки при . Из (21.25) для рассматриваемого скалярного случая следует

где

(21.376)

V(t) - решение линейного интегрального уравнения [см. (21.16)]

(21.38)

Из общих результатов анализа оценки максимального правдоподобия векторного параметра линейной модели сигнала, приведенных в п. 21.1.4, следует, что оценка (21.36) амплитуды сигнала несмещенная и эффективна», т. е.

(21.39 а)

Оценка (21.36) является линейным функционалом гауссовского случайного процесса. Поэтому она представляет гауссовскую случайную величину со средним а и дисперсией Это позволяет довольно просто получить интервальную оценку амплитуды сигнала (см. п. 14.5.3). Так как

где — интеграл Лапласа, то доверительный интервал для неизвестной амплитуды сигнала может быть представлен неравенствами

(21.40)

где — процентная точка нормального распределения, определяемая по заданному коэффициенту доверия .

Для белого гауссовского шума и из (21.36) следует

(21.41)

В этом случае отношение дисперсии оценки к квадрату оцениваемой амплитуды сигнала

(21.41 а)

т. е. равно отношёнию спектральной плотности белого шума к энергии сигнала на интервале наблюдения.

21.1.6. Реализация оптимального аналогового алгоритма оценивания амплитуды сигнала.

Для реализации оптимального аналогового алгоритма оценивания амплитуды сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи необходимо вычислить нормированный корреляционный интеграл (21.36). Эту операцию можно осуществить при помощи аналогового коррелометра или физически реализуемого линейного фильтра с импульсной характеристикой (см. п. 15.3.2)

(21.42)

Эта импульсная характеристика зависит от нормированного сигнала и корреляционной функции помехи, которые определяют решение интегрального уравнения (21.38).

Сравнивая (21.42) и (15.95), обнаруживаем аналогию оптимальных устройств обнаружения детерминированного сигнала и оценки его амплитуды на фоне гауссовской помехи. Это сравнение показывает, что оптимальная оценка амплитуды получается в конце наблюдения на выходе фильтра, используемого в обнаружителе, если только импульсная характеристика фильтра нормируется величиной (или умножается на дисперсию оценки). Заметим, что значение совпадает с параметром рабочей характеристики обнаружения [см. (15.90)].

Подобная аналогия в структурах обнаружителя и устройства оценивания имеет место при использовании дискретно-аналоговых алгоритмов (см. задачу 21.2).

При оценке амплитуды сигнала на фоне аддитивного белого гауссовского шума

(21.43)

В этом случае оптимальная оценка амплитуды получается на выходе согласованного фильтра (см. п. 15.3.4), импульсная характеристика которого нормируется интегралом

21.1.7. Линейная оценка с минимальной дисперсией.

Хотя (21.36) представляет оценку максишшьного правдоподобия амплитуды сигнала в том случае, когда помеха — аддитивная, гауссовская, эта оценка сохраняет некоторые важные свойства и для негауссовских помех. Ясно, что эта оценка всегда несмещенная. Кроме того, можно показать, что в классе линейных оценок она имеет минимальную дисперсию. Пусть оценка амплитуды

(21.44)

при условии несмещенности

(21.44 а)

Тогда по аналогии с (21.39 б)

(21.45)

Найдем нижнюю границу значений дисперсии для всевозможных функций при соблюдении условия (21.44 а), которое с учетом (21.38) можно переписать в виде

Воспользовавшись неравенством Буняковского-Шварца, получим

откуда следует, что [см. (21.45)]

или [см (21.376)]

(21.46)

Таким образом, нижняя граница дисперсий линейных оценок амплитуды сигнала на фоне произвольной аддитивной центрированной помехи с корреляционной функцией достигается при где - импульсная характеристика фильтра, определенная согласно (21.42). При негауссовой по мехе дисперсию оценки можно уменьшить, используя нелинейный алгоритм оценивания.

При гауссовой помехе линейная оценка обладает минимально возможной дисперсией, которую уже невозможно уменьшить, применяя нелинейный алгоритм обработки наблюдаемой реализации . Приведенные выше результаты справедливы при

(21.47)

т. е. когда корреляционная функция положительно определена. Это условие, как отмечалось в гл. 15, соответствует регулярному случаю. Если же , то имеет место сингулярный случай. Наличие аддитивного белого шума является достаточным для выполнения условия (21.47), так как при

потому что первое слагаемое в (21.47 а) неотрицательное, а второе — положительное. Следовательно, наличие аддитивного белого шума исключает сингулярный алгоритм оценивания.

21.1.8. Оценки амплитуды и фазы гармонического сигнала.

Проиллюстрируем общие результаты п. 21.1.3 еще на одном примере, в котором сигнал — гармонический с известной частотой и неизвестными амплитудой а и фазой :

и, следовательно, [см. (21.15)]

(21.49 а)

Выпишем элементы вектора и матрицы [см. (21.21 а и б)]:

(21.50)

где - решения интегральных уравнений

(21.526)

— корреляционная функция аддитивной гауссовской помехи.

Подставляя (20.50), (21.51) в (21.23) и решая систему двух линейных относительно уравнений, получаем оценки максимального правдоподобия этих параметров:

(21.53 б)

где

(21.54)

Для белого гауссовского шума с интенсивностью из (21.52 а и б) следует

(21.55)

и

(21.56)

Подставляя (21.56) в (21.53 a, б) и полагая , где k — целое число, находим после простых вычислений

(21,56 а)

Оценки (21.56 а и б) некоррелированы (так как для белого шума ), а следовательно, и независимы, в силу того, что распределение каждой из этих статистик нормальное. Дисперсии указанных оценок одинаковы:

(21.57)

Средние значения этих несмещенных оценок

(21.58)

Оценки максимального правдоподобия (21.56 а и б) можно использовать для получения оценок амплитуды и фазы сигнала на фоне аддитивного белого гауссовского шума:

(21.60)

Можно доказать (см., например, [60], гл. 6.1.2), что для белого шума оценки (21.59) и (21.60) являются оценками максимального правдоподобия амплитуды и фазы сигнала (21.49).

Используя результаты, приведенные в п. 3.2.3, находим, что оценка (21.59) амплитуды распределена по обобщенному закону Рэлея со средним

и дисперсией

где

Из (21.61 а) видно, что оценка (21.59) амплитуды смещенная. Но при эта оценка асимптотически несмещенная, так как при

(21.62 а)

Если , то из (21.616) и (21.62 а) следует также

Функция распределения оценки (21.60) фазы для аддитивного белого шума определяется по формуле (3.57). Так как это распределение симметрично, то оценка фазы несмещенная. В соответствии с (3.65) дисперсия этой оценки

где

(21.63 а)

Распределение оценки асимптотически нормальное при со средним и дисперсией (см. п. 3.2.5)