19.4. УСТОЙЧИВОСТЬ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ РАНГОВЫХ АЛГОРИТМОВ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

19.4.1. Предельные распределения ранговых статистик относительно смещенных гипотез.

Предположим, что ранговый алгоритм обнаружения (19.53), асимптотически оптимальный при помехе с функцией распределения и плотностью используется для обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной независимой помехи с функцией распределения и плотностью

Рассмотрим две ранговые статистики:

(19.66)

где

(19.68)

Пусть проверяется гипотеза , что наблюдаемая выборка принадлежит независимой помехе с распределением против близкой альтернативы К, что эта выборка принадлежит аддитивной смеси детерминированного сигнала с указанной помехой.

При гипотезе Н и при условии (19.46) статистики асимптотически нормальны. При гипотезе Н (см. п. 17.5.2) среднее значение и дисперсия статистики (19.67)

(19.70)

— информация по Фишеру помехи, — мощность сигнала. Из (19.66) при находим среднее значение статистики при гипотезе Н

Кроме того,

(19.72)

При этом ковариация статистик

где

(19.74)

Для вектора () выполняются условия центральной предельной теоремы. Поэтому при гипотезе Я предельное распределение этого вектора нормальное с нулевым вектором средних и с ковариационной матрицей

Тогда согласно п. 17.5.2 статистика и при альтернативе К асимптотически нормальна с параметрами

19.4.2. Устойчивость асимптотически оптимального рангового алгоритма.

Устойчивость асимптотически оптимального (АО) рангового алгоритма обнаружения сигнала, как и нерангового алгоритма, будем характеризовать значением КАОЭ рангового алгоритма, используемого в неоптимальных условиях, по отношению к АО ранговому алгоритму.

Предположим, что ранговый алгоритм АО относительно аддитивной независимой помехи с плотностью распределения используется в неоптимальных условиях, т. е. для обнаружения сигнала на фоне аддитивной независимой помехи с плотностью распределения . Обозначим этот алгоритм через , а через — ранговый алгоритм, асимптотически оптимальный относительно помехи с плотностью распределения

Используя результаты, приведеныне в п. 17.1.5 и п. 19.4.1, не трудно определить КАОЭ алгоритма по отношению к алгоритму Этот КАОЭ и характеризует устойчивость асимптотически оптимального рангового алгоритма

В обозначениях, принятых в п. 17.1.5, имеем

(19.76)

Подставляя (19.76) в (18.39), получаем

(19.77)

Так как

(19.78 б)

то формулу 19.77) можно переписать в виде

(19.79)

Выражение (19.79) представляет квадрат коэффициента корреляции между двумя функциями от равномерно распределенной случайной величины. Поэтому как и должно быть.

Формулы (19.77) и (19.79) симметричны относительно функций Это означает, что устойчивость рангового алгоритма, АО по отношению к помехе с плотностью распределения при использовании его при «чужой» помехе с плотностью та же, что и устойчивость рангового алгоритма, АО по отношению к помехе с плотностью , при использовании его при «чужой» помехе с плотностью Например, из (19.77) следует, что устойчивость медианного алгоритма (19.60) при обнаружении детерминированного сигнала на фоне гауссовской аддитивной помехи характеризуется КАОЭ

(19.80)

Такой же величиной будет определяться устойчивость рангового алгоритма Ван дер Вардена (19.57) при обнаружении сигнала на фоне лапласовской аддитивной помехи.

Устойчивость рангового алгоритма Вилкоксона (19.62) при обнаружении детерминированного сигнала на фоне гауссовской аддитивной помехи характеризуется

(19.81)

Такой же величиной будет определяться устойчивость рангового алгоритма Ван дер Вардена при обнаружении сигнала на фоне лапласовской аддитивной помехи.

Заметим, что формула (19.77) и ее частные случаи (19.80) и (19.81) остаются справедливыми и для знаково-ранговых алгоритмов.

19.4.3. Сравнение устойчивости рангового и нерангового асимптотически оптимальных алгоритмов.

Из (18.41) и (19.77) находим КАОЭ рангового алгоритма обнаружения детерминированного сигнала по отношению к неранговому при условии, что эти алгоритмы, асимптотически оптимальные при помехе с плотностью распределения используются для обнаружения сигнала на фоне помехи с плотностью

(19.82)

Формула (19.82) представляет отношение правых частей формул (19.77) и (18.41). Из (18.46 а) и (19.80) следует, что значение для медианного и знакового алгоритмов, используемых для обнаружения сигнала на фоне аддитивной гауссовской помехи, равна единице. Однако для алгоритма Ван дер Вардена и линейного нерангового алгоритма, используемых для обнаружения сигнала на фоне аддитивной лапласовской помехи, как следует из (18.44 а) и (19.80), . Для тех же алгоритмов обнаружения нала на фоне аддитивной логистической помехи, как следует из из (18.446) и (19.81), . Приведенные примеры свидетельствуют о том, что устойчивость асимптотически оптимального рангового алгоритма при гауссовской помехе выше устойчивости линейного нерангового алгоритма обнаружения детерминированного сигнала. В [59] высказано предположение, что указанное свойство ранговых алгоритмов имеет место при любом распределении аддитивной помехи.