13.8.12. Относительная эффективность линейного знаково-рангового алгоритма.

Из (13.201) и (13.188) определяем КАОЭ линейного знаково-рангового алгоритма (13.193) по отношению к линейному (13.185)

(13.202)

где — произвольная симметричная плотность вероятности и — дисперсия, которая предполагается известной.

Если — плотность нормального распределения, то из (13.202) следует, что т. е. при указанном условии эффективность линейного знаковорангового алгоритма близка к эффективности оптимального линейного алгоритма. Такое существенное повышение эффективности по сравнению со знаковым алгоритмом [см. (13.190)] в этом случае достигается, конечно, за счет усложнения алгоритма. В то время, как число операций для знакового алгоритма (13.176) растет линейно в зависимости от (размера выборки, число операций в знаково-ранговом алгоритме пропорционально квадрату размера выборки.

В табл. 13.2 указаны значения коэффициента асимптотической относительной эффективности знаково-рангового алгоритма по отношению к линейному для тех же распределений, которые были приведены в п. 13.8.7. В последней строке приведено наименее благоприятное распределение, для которого коэффициент достигает наименьшего значения К При всех других распределениях

В табл. 13.1 приведены также значения КАОЭ знаково-рангового алгоритма (13.193) по отношению к знаковому (13.176). При этом использовано соотношение ![см. (13.162а), (13.190) и (13.202)]. Только при лапласовском распределении эффективность знаково-рангового алгоритма меньше эффективности знакового.

Используя рассуждения, приведенные в конце п. 13.8.7, приходим к выводу, что формула (13.202) остается справедливой и для КАОЭ рассматриваемого знаково-рангового алгоритма по отношению к равномерно наиболее мощному алгоритму (13.104) для проверки гипотезы о среднем нормального распределения.

Таблица 13.2

Для некоторых классов распределений вероятностей можно повысить эффективность алгоритма проверки гипотез о симметрии, если использовать более сложные знаково-ранговые статистики. Таким алгоритмом является, например, знаково-ранговый алгоритм Ван-дер-Вардена

(13.203)

где — функция, обратная интегралу Лапласа.