Глава 15. ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ АДДИТИВНЫХ ГАУССОВСКИХ ПОМЕХ

15.1. ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНО-АНАЛОГОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

15.1.1. Постановка задачи и априорные данные.

В радиолокации, в системах связи и во многих других областях естествознания и техники возникает следующая ситуация априорной неопределенности. Исследователь наблюдает (или регистрирует при помощи автоматического устройства) реализацию случайного процесса, которая может представлять либо смесь сигнала, содержащего полезную информацию, и мешающей помехи, либо только помеху. Задача исследователя состоит в том, чтобы, используя заранее выработанное правило, вынести решение о наличии или отсутствии полезного сигнала в наблюдаемой реализации. Эта задача обнаружения сигнала на фоне помех относится к классу задач проверки статистических гипотез (см. п. 12.1.2).

Обозначим через реализацию случайного процесса наблюдаемую на интервале . Выдвигается гипотеза что , где — случайная помеха, против альтернативы что , где — полезный сигнал и символ характеризует взаимодействие сигнала с помехой . Необходимо на основании определенного правила, оптималь ного по некоторому критерию или эвристического, принять решение о наличии сигнала (принять альтернативу ) или решение об отсутствии сигнала (принять гипотезу ).

Как отмечалось в п. 12.1.2, указанная общая постановка зада проверки статистических гипотез не является исчерпывающей. Ее необходимо дополнить укомплектованием априорных данных.

В этой главе предполагается, что помеха — аддитивная и представляет центрированный гауссовский случайный процесс. Аддитивность означает, что символ заменяется знаком суммирования. Сигнал предполагается детерминированным, что соответствует так называемой задаче когерентного обнаружения.

Рассмотрим одношаговые дискретно-аналоговые алгоритмы обнаружения. В этом случае непрерывная реализация подвергается временной дискретизации и наблюдение представляется выборкой заданного размера

Элементы выборки — гауссовские случайные величины, средние значения которых

Предполагается известной ковариационная матрица выборки которая равна К и при гипотезе, и при альтернативе.

Функции правдоподобия выборки запишутся в виде [см. (2.64)]

где — вектор сигнальных значений в моменты дискретизации. За критерий качества алгоритма принятия решения выбираем критерий Неймана—Пирсона, который чаще всего используется в теории обнаружения сигналов. Поэтому указанный комплект априорных данных является полным для синтеза оптимального алгоритма обнаружения по принятому критерию (см. п. 12.4.6 и § 12.6).

Как и в общей теории проверки гипотезы против альтернативы в теории обнаружения сигналов на фоне помех рассматриваются ошибки двух видов: первого рода — ложная тревога, когда принимается решение о наличии сигнала, а в действительности его нет, и второго рода, — пропуск сигнала, когда принимается решение о том, что сигнала нет, а в действительности он присутствует. Вероятности а ложной тревоги пропуска сигнала

Вероятность правильного обнаружения сигнала

(15.5 а)

Алгоритм обнаружения, оптимальный по критерию Неймана — Пирсона, обеспечивает максимум вероятности правильного обнаружения сигнала при заданной вероятности ложной тревоги.