21.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

21.3.1. Постановка задачи и априорные данные.

Предположим теперь, что на интервале наблюдения получена реализация аддитивной смеси сигнала и помехи которые представляют центрированные случайные процессы с известными корреляционными функциями причем и сигнал, и помеха необязательно гауссовские. Необходимо синтезировать оценку стохастического сигнала по наблюдаемой реализации

Определение оценки как функционала от при называется задачей фильтрации сигнала, при — задачей интерполяции сигнала и при — задачей экстраполяции (или прогнозирования) сигнала. Располагая реализацией аддитивной смеси сигнала и помехи, иногда необходимо определить также оценку некоторого другого стохастического сигнала представляющего требуемую операцию над сигналом Это может быть линейная операция (сдвиг, одйократные или многократные дифференцирование и интегрирование) или даже нелинейная.

Рассмотрим задачу оптимальной линейной фильтрации сигнала на фоне аддитивной помехи, которая формируется следующим образом. В качестве оценки сигнала принимается линейный функционал

(21.80)

т. е. значение процесса на выходе линейного фильтра с импульсной характеристикой , когда на вход действует наблюдаемая реализация смеси сигнала с помехой. Необходимо в классе этих линейных фильтров определить фильтр, оптимальный по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценивания

(21.81)

где

(21.82)

Так как по предположению сигнал и помеха — центрированные случайные процессы, то средний квадрат ошибки совпадает с ее дисперсией. Поэтому критерий (21.81) будем называть критерием минимума дисперсии ошибки.

Далее будет показано, что для определения импульсной характеристики такого оптимального фильтра достаточно располагать указанными априорными данными о сигнале и помехе. Рассматривается наиболее распространенная ситуация, когда сигнал и помеха некоррелированы, хотя без существенных усложнений решения задачи это предположение можно опустить, если априори заданы взаимные корреляционные функции сигнала и помехи (см., например, [60]).

Достаточно полное изложение теории оптимальных линейных дискретно-аналоговых и аналоговых алгоритмов фильтрации, интерполяции и экстраполяции стохастических сигналов дано в [62]. Первыми основополагающими работами в области теории оптимальной линейной фильтрации были работы А. Н. Колмогорова [63] и Н. Винера [64].

21.3.2. Импульсная характеристика оптимального фильтра.

Предположим сначала, что реализация аддитивной смеси сигнала и помехи определена для всех действительных значений т. Тогда линейную оценку сигнала можно представить в виде

(21.83)

Дисперсия ошибки оценивания

или

(21.84)

так как

(21.856)

Из (21.84) следует, что дисперсия линейной оценки зависит только от корреляционных функций сигнала и помехи и не зависит от распределения вероятностей этих случайных процессов.

Обозначим через импульсную характеристику оптимального по критерию (21.81) линейного фильтра. Покажем, что функция должна удовлетворять интегральному уравнению

(21.86)

или с учетом (21.85 а)

(21.86 а)

Подставляя (21.86) во второе слагаемое (21.84), получаем

(21.87)

Так как только последний член в (21.87) содержит неизвестную функцию и так как он неотрицательный в силу положительной определенности корреляционной функции то минимальное значение будет соответствовать такому фильтру, импульсная характеристика которого обращает его в нуль. Как нетрудно видеть, это будет иметь место при условии что и требовалось доказать.

Обозначим через ошибку оценивания сигнала при оптимальной линейной фильтрации. Тогда, учитывая (21.86), находим

(21.88)

т. е. процессы некоррелированы. Соотношение (21.88) выражает так называемый принцип ортогонального проецирования, который, как показано, является достаточным условием минимума дисперсии ошибок оценивания сигнала. Можно доказать, что это условие является также необходимым (см., например, [62]).

При использовании оптимального линейного фильтра минимальное значение дисперсии ошибки

(21.89)

или с учетом (21.86), (21.86 a)

В силу положительной определенности вычитаемое в (21.89) неотрицательно и, следовательно,

(21.90)

Из (21.89) и (7.40) следует

(21.91)

т. е. минимальная дисперсия ошибки равна разности дисперсий оцениваемого процесса и оценки.

Используя (21.91), можно выразить величину также через интеграл от разности мгновенных энергетических спектров процесса и его линейной оценки (см. п. 4.3.10)

где — мгновенный спектр, а индекс при символе Ф указывает, какому процессу соответствует спектр.

Для белого шума с интенсивностью имеем и из (21.86 а) и (21.89 а) следует

(21.92)

21.3.3. Фильтрация стационарного сигнала.

Если сигнал и помеха стационарны (по крайней мере, в широком смысле), а фильтр представляет линейную систему с постоянными во времени параметрами, то интегральное уравнение (21.86) преобразуется к виду

(21.94)

Из (21.89 а) находим минимальную дисперсию ошибки

или

т. e. минимальная средняя дисперсия оценки равна разности средних мощностей оцениваемого сигнала и оценки.

Выражая средние мощности через спектры процессов [см. (7.50 а)], запишем минимальную дисперсию в виде

(21.96)

где

(21,96 а)

— передаточная функция оптимального фильтра.

Так как правая часть уравнения (21.94) представляет свертку функций, преобразования Фурье которых равны соответственно то, совершая преобразование Фурье от обеих частей уравнения (21.94), получаем

(21.97)

Формула (21.97) представляет в явном виде решение задачи об определении характеристики оптимального фильтра, если не учитывается физическая реализуемость фильтра [используются не только все прошлые, но и все будущие значения реализации . Фильтр совершает оценку сигнала в заданный момент времени с бесконечным запаздыванием. Так как правая часть в (21.97) действительна, то она представляет частотную характеристику оптимального линейного фильтра (фазовая характеристика в этом случае тождественно равна нулю).

Подставляя (21.97) в (21.96), находим

Из (21.98) следует, что дисперсия ошибки при оптимальной фильтрации равна нулю (сингулярность) тогда, когда спектры сигнала и помехи не перекрываются, т. е. когда при всех о. Для того чтобы не было перекрытия, необходимо, очевидно, чтобы спектры на некоторых интервалах оси частот тождественно обращались в нуль.

При фильтрации сигнала на фоне белого шума со спектральной плотностью из (21.98) следует

(21.99)

т. е. наличие аддитивного белого шума исключает сингулярность.

Фильтр с передаточной функцией (21.97) можно представить - двумя последовательно соединенными фильтрами с передаточными функциями квадраты модулей которых

(21.100 а)

Ясно, что при воздействии на вход первого фильтра реализацией получаем на его выходе белый шум единичной интенсивности. Второй фильтр осуществляет оптимальную обработку белого шума для получения оценки с минимальной дисперсией. Фильтр с передаточной функцией (21.100 а) называют обеляющим.

21.3.4. Физически реализуемый оптимальный фильтр.

Условие физической реализуемости означает, что для фильтрации используется только предыстория реализации до момента времени, когда производится оценка. Оценка сигнала при помощи физически реализуемого линейного фильтра имеет вид

где используются все значения реализации предшествующие моменту t, для которого производится оценка. Если наблюдается реализация конечной длительности, т. е. если оценка в момент t производится по результатам наблюдения на интервале то вместо (21.101) получим

(21.102)

Выполняя те же преобразования, что и в п. 21.3.2, нетрудно показать, что наилучшую по критерию минимума дисперсии ошибки линейную фильтрацию сигнала из его аддитивной смеси с помехой осуществляет такая линейная система, импульсная характеристика которой удовлетворяет интегральному уравнению Винера — Хопфа

(21.103)

Заметим, что и в рассматриваемом случае оптимальной физически реализуемой фильтрации необходимым и достаточным является условие некоррелированности ошибки и наблюдаемой реализации [см. (21.88)].

При использовании оптимального физически реализуемого фильтра минимальная дисперсия ошибки [ср. с (21.89 а)]

(21.104)

Для белого шума из (21.103) и (21.104) следует

(21.106)

21.3.5. Оценка стационарного сигнала физически реализуемым оптимальным фильтром.

Если и сигнал, и помеха стационарны, а фильтр представляет линейную систему с постоянными во времени параметрами, та из (21.103), при следует, что импульсная характеристика оптимального фильтра определяется решением интегрального уравнения

(21.107)

При этом минимальное значение дисперсии ошибки [см. (21.104)]

(21.107 а)

Обозначим левую часть уравнения (21.107) через Ясно, что при причем преобразование Фурье от функции имеет полюсы лишь в нижней полуплоскости. Из (21.107) преобразованием Фурье получаем

(21.108)

Передаточную функцию оптимального фильтра можно найти из (21.108), если выполнить условие регулярности функции в верхней полуплоскости. Для этого предположим, что спектр допускает факторизацию, т. е. может быть представлен в виде произведения

(21.109)

причем все полюсы и нули функции находятся в нижней полуплоскости (т. е. функция ) представляет передаточную функцию физически реализуемой линейной системы). Подставив (21.109) в (21.108), и разделив обе части уравнения (21.108) на получим

(21.110)

Представим первый член в левой части (21.110) в виде суммы функций

(21.111)

где регулярна в нижней полуплоскости, а в верхней. Разложение (21.111) выполняется просто, если левая часть этого выражения — дробно-рациональная функция частоты .

Из (21.110) и (2.111) следует

(21.112)

Левая часть (21.112) регулярна в нижней полуплоскости, а правая — в верхней. Отсюда следует, что и левая, и правая части уравнения (21.112) должны быть тождественно равны нулю. Из последнего условия находим передаточную функцию оптимального физически реализуемого фильтра

(21.113)

Обратным преобразованием Фурье из (21.113) находим импульсную характеристику оптимального физически реализуемого фильтра (решение уравнения Винера — Хопфа).

Таким образом, определение оптимального физически реализуемого фильтра сводится к факторизации спектра аддитивной смеси сигнала и помехи и разложению функции на сумму сопряженных функций. Указанная факторизация может быть всегда выполнена, если выполнено условие Винера — Пэли

(21.114)

Условие (21.114), справедливое для дробно-рациональных спектров, не выполняется, например, для гауссовского спектра, пропорционального Заметим, что если спектр процесса не удовлетворяет этому условию, то значения сигнала с вероятностью единицы могут быть экстраполированы по реализации наблюдаемой на любом интервале конечной длительности.

Оптимальный фильтр с передаточной функцией (21.113) можно представить двумя последовательно соединенными фильтрами: «обеляющим» с передаточной функцией на выходе которого получаем белый шум, и оптимальным с передаточной функцией для выделения сигнала на фоне белого шума [ср. с (21.100 в)].

21.3.6. Пример оптимального фильтра.

Проиллюстрируем методику решения уравнения (21.107), изложенную в п. 21.3.5, на простом примере, когда спектр сигнала

(21.115)

а аддитивная помеха — белый шум со спектральной плотностью Спектр наблюдаемой реализации

факторизуется очевидным образом и

(21.117)

Из (21.115) и (21.117) находим

Разлагая правую часть (21.118) на элементные дроби, получаем

откуда следует, что

Подставляя (21.119) и (21.117) в (21.113), находим передаточную функцию оптимального фильтра (фильтра Винера)

(21.120)

где

(21.120 а)

— отношение энергии сигнала к спектральной плотности белого шума.

Из (21.120) следует, что в рассматриваемом случае оптимальный фильтр» представляет последовательное соединение усилителя с коэффициентом усиления и интегрирующей цепи с постоянной времени (см. п. 7.2.6).

Из (21.120) обратным преобразованием Фурье находим импульсную характеристику оптимального фильтра

(21.121)

и минимальную дисперсию ошибки [см. (2,1.107 а)]

(2.122)

21.3.7. Другой подход к решению задачи синтеза оптимального фильтра.

Если спектр сигнала представляет рациональную функцию переменной , то можно использовать другой подход к решению задачи синтеза алгоритма фильтрации, оптимального по критерию минимума среднего квадрата ошибки, предложенный в [65]. Проиллюстрируем этот подход на примере, рассмотренном в п. 21.3.6.

Сигнал со спектром (21.115) получаем на выходе формирующего фильтра, структура которого определяется дифференциальным уравнением первого порядка (см. п. 7.2.4 и рис. 7.2)

(21.123)

где — белый шум со спектральной интенсивностью 50. Предположим, что помеха также представляет белый шум с интенсивностью причем некоррелированы.

Используем линейную оценку сигнала (21.102). Импульсная характеристика оптимального фильтра удовлетворяет уравнению (21.103). Тогда из (21.102) находим

(21.124)

Далее из (21.103) следует

Но, учитывая (21.123) и (21.103), получаем

(21.1256)

Кроме того, при

(21.125 в)

Из (21.125 а-в) следует

(21.126)

Для того чтобы интеграл (21.126) был равен нулю при произвольной функции , выражение в квадратных скобках должно быть равно нулю, т. е.

(21.127)

Подставляя (21.127) в (21.124), получаем

или

(21.128)

где

(21.129)

Выражение (21.128) представляет оптимальный по критерию минимума дисперсии ошибки алгоритм фильтрации сигнала со спектром (21.123) на фоне аддитивного белого шума.

Рис. 21.1. Схема фильтра Калмана

Соответствующая этому алгоритму структурная схема оптимального фильтра (фильтра Калмана) изображена на рис. 21.1, где, кроме того, показана структурная схема формирующего фильтра, на выходе которого получаем сигнал со спектром (21.115).

Заметим, однако, что алгоритм (21.128) полностью еще не определен, так как осталась неизвестной функция [см. (21.129)], которую называют коэффициентом усиления. Но из (21.106) следует

(21.130)

т. е. коэффициент усиления полностью определяется минимальным значением дисперсии ошибки при линейной фильтрации сигнала.

21.3.8. Дифференциальное уравнение, определяющее минимальную дисперсию ошибки.

Используя (21.128), запишем сначала дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет ошибка при оценивании сигнала

(21.131)

Обозначив

(21.132)

получим с учетом (21.131)

и так как то получаем следующее нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка (уравнение Риккати) для дисперсии ошибки

(21.133)

При дисперсия ошибки , и, следовательно, коэффициент усиления стремятся к постоянному значению, определяемому из условия

В результате решения квадратного уравнения с учетом имеем

Используя обозначение принятое в (21.122), можно переписать (21.134) в виде

(21.134 а)

откуда видно, что предельное значение дисперсии ошибки для алгоритма Калмана оценивания сигнала совпадает с дисперсией ошибки, соответствующей фильтру Винера.

При начальном условии общим решением уравнения Риккати является (см., например, [66])

По изложенной методике можно синтезировать алгоритмы фильтрации, использующие более общую модель формирующего фильтра, определяемого системой дифференциальных уравнений относительно переменных состояния [см. (6.46), (6.47)]. Такие алгоритмы, как аналоговые, так и дискретно-аналоговые, представленные в матричной форме, приведены, например, в [66] (см. также [16], табл. 7.1).