против простой альтернативы 
о том, что
(13.121 б)
При этом предполагается, что ковариационная матрица
(13.121 в)
известна и одинакова как при гипотезе, так и при альтернативе. Функции правдоподобия выборки 
на выборочном пространстве 
[см. (2.64)}
(13.122 б)
Задача состоит в установлении оптимального (по заданному критерию) правила выбора одного из двух решений
(13.123)
13.6.2. Достаточная статистика.
Как и для независимой однородной выборки (см. п. 13.5.2), достаточной статистикой в рассматриваемой задаче является логарифм отношения правдоподобия. Из (13.122 а) и (13.122 б) находим
(13124)
Так как в правой части (13.124) второй член — известная константа, то достаточной статистикой будет также
(13.125)
где
(13.125 а)
Статистика 
как линейная комбинация зависимых гауссовских величин подчиняется нормальному закону распределения (см. п. 3.3.3). Параметры этого распределения при гипотезе Но и альтернативе 
(13.126 а)
где
(13.127)
Заметим, что параметр 
определяет «расстояние» между статистиками 
при гипотезе и альтернативе [ср. с (13.82)]
При 
«расстояние» между статистиками увеличивается, так как при этом 
Отметим, что параметр 
определяет также среднее и дисперсию статистики логарифма отношения правдоподобия (13.124), которая, как и статистика (13.125), распределена по нормальному закону. Из (13.124) следует
(13.129 а)
13.6.3. Оптимальные алгоритмы.
Из результатов, приведенных в § 13.1, следует, что оптимальные дискретно-аналоговые алгоритмы принятия решения при проверке простой гипотезы 
против простой альтернативы 
(при известной ковариационной матрице К) состоят в сравнении с порогом достаточной статистики (13.125)
(13.130)
где порог К определяется выбранным критерием качества. Для байесовского алгоритма, а также для алгоритмов максимальной апостериорной вероятности и максимального правдоподобия
(13.131)
где константа с для указанных критериев приведена в табл. 1.1.
При использовании оптимальных по указанным трем критериям алгоритмов вероятности ошибок первого и второго рода
(13.132)
где 
— интеграл Лапласа. Подставляя (13.131) в (13.132), (13.133), получаем
(13.134)
Формулы (13.134) и (13.135) имеют тот же вид, что и (13.75), (13.76), и отличаются значением параметрами. Поэтому в рассматриваемом случае можно использовать формулы (13.80), (13.83), (13.84), если только подставлять в них значения параметра 
согласно (13.127).
Алгоритм принятия решения, определяемый неравенствами (13.130), оптимален также и по критерию Неймана — Пирсона, если при заданной вероятности а ошибки первого рода согласно (13.132) [ср. (13.87)] порог
(13.136)
Минимальная вероятность ошибки второго рода определяется по формулам (13.133) и (13.136), в которые подставляется значение параметра 
из (13.127).
Если результаты наблюдений представлены не одним 
-мерным вектором 
независимыми векторами 
т. е. матрицей размером 
то решение задачи проверки простых гипотез о векторе средних 
-мерного нормального распределения сводится к рассмотренному, если выборку 
заменить средним 
арифметическим — 
а матрицу К—матрицей 
. Величину 
в (13.127) при этом следует заменить на 
13.6.4. Другая форма достаточной статистики.
Выражение (13.124) логарифма отношения правдоподобия можно упростить путем декорреляции случайных величин 
(см. п. 3.1.10). Пусть С — ортогональная матрица, векторами-строками которой являются собственные (ортонормированные) векторы 
ковариационной матрицы К указанной совокупности зависимых выборочных значений [ом. (3.20)]. Тогда компоненты вектора
(13.137)
некоррелированы и, следовательно, независимы, так как выборка принадлежит нормальному распределению. Матрица
(13.138)
диагональная, ее элементы 
— собственные значения (положительные) ковариационной матрицы К.
Из уравнения (13.137) находим
(13.139)
Используя (13.137) и учитывая (13.139), получаем из
(13.140)
Так как второе слагаемое в (13.140) известная компонента, то достаточной статистикой будет также
(13.141)
где 
— компоненты векторов 
.
В отличие от статистики 
статистика 
представляет линейную комбинацию независимых гауссовских случайных величин 
.
заданного размера п. Выдвигается простая гипотеза 
о том, что эта выборка подчиняется 
-мерному нормальному распределению с вектором средних
