22.5. АДАПТИВНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ПОМЕХ

22.5.1. Принцип построения адаптивных асимптотических оптимальных алгоритмов.

Общим критерием качества адаптивного алгоритма, как отмечалось в § 22.1, является его состоятельность — сходимость по вероятности адаптивного алгоритма к оптимальному алгоритму при полной априорной информации, когда неограниченно увеличивается размер обучающей выборки.

Состоятельные адаптивные алгоритмы обнаружения получаются из оптимальных подстановкой вместо неизвестных функций распределения или их параметров соответствующих оценок, вычисленных при помощи обучающих выборок. Однако критерий состоятельности не определяет однозначно адаптивный алгоритм обнаружения сигнала.

Для построения состоятельного адаптивного алгоритма можно использовать приведенные в гл. 18 и 19 асимптотически оптимальные алгоритмы обнаружения сигналов. Хотя эти алгоритмы обладают определенной структурной устойчивостью, для их применения необходима априорная информация о распределении помехи и способе ее взаимодействия с сигналом для того, чтобы определить характеристику нелинейного преобразователя наблюдений и вычислить порог. Если имеется обучающая выборка, то, используя удачно выбранные оценки характеристики нелинейности и порога, можно получить состоятельный адаптивный алгоритм обнаружения. Такие алгоритмы сохраняют все положительные свойства асимптотически оптимальных алгоритмов, приобретая новое свойство — возможность их применения в условиях априорной неопределенности относительно вида помехи.

Вследствие асимптотической эквивалентности вероятностных мер при сближающихся гипотезе и альтернативе (см. гл. 17), оценивание характеристики нелинейного преобразователя по неклассифицированной обучающей выборке столь же эффективно, как при классифицированной, но с меньшей скоростью сходимости адаптивного асимптотически оптимального алгоритма.

22.5.2. Адаптивный асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне k-связной марковской помехи.

Пусть -классифицированная выборка, принадлежащая распределению -связной марковской помехи При неизвестном распределении помехи на основе этой выборки можно получить оценки следующих величин в асимптотическом разложении (17.64), зависящих от неизвестного распределения

(22.87)

Адаптивный асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения детерминированного сигнала на фоне -связной марковской помехи формулируется следующим образом: сигнал присутствует, если

(22.88)

и сигнала нет в противном случае [ср. с (18.47)].

22.5.3. Адаптивные асимптотически оптимальные алгоритмы обнаружения детерминированного сигнала на фоне аддитивной помехи с независимыми значениями.

Предположим, что неизвестная плотность вероятности аддитивной помехи с независимыми значениями принадлежит параметрическому семейству плотностей. Примерами таких семейств являются функции Пирсона (см., например, [6, 16]), а также плотности, аппроксимируемые конечными суммами ортогональных полиномов (см. § 2.5). В этих случаях неизвестную логарифмическую производную плотности помехи (характеристику нелинейного преобразователя наблюдаемой выборки) можно представить в виде отношения

(22.89)

где - полиномы конечных степеней, коэффициенты которых выражаются через моменты распределения помехи. Заменяя эти априорные моменты выборочными

(22.90)

вычисленными по классифицированной независимой выборке помехи, получаем оценку логарифмической производной

(22.91)

Кроме подстройки характеристик входного нелинейного безынерционного преобразователя, необходима также подстройка порога, который зависит от неизвестного значения информации по Фишеру [см. (18.5)]. При независимой обучающей выборке помехи в соответствии с законом больших чисел оценка

(22.92)

Можно доказать, что оценки при сходятся по вероятности к соответственно.

Предположим теперь, что неизвестная плотность вероятности аддитивной помехи с независимыми значениями принадлежит непараметрическому семейству плотностей. Для построения адаптивного асимптотически оптимального алгоритма обнаружения сигнала в рассматриваемом случае необходима оценка не самой плотности, а ее логарифмической производной. Используя метод потенциальных функций (см. п. 22.4.1), находим оценку характеристики нелинейности по обучающей выборке помехи

где — ортонормированный базис.

Другая оценка получается методом, аналогичным приведенному в п. 22.4.2:

(22.94)

где при При этом оценки (22.93) и (22.94) сходятся при по вероятности к