11.4. СРЕДНЯЯ МОЩНОСТЬ ПРИ КОНЕЧНОМ ВРЕМЕНИ УСРЕДНЕНИЯ

11.4.1. Широкополосный гауссовский процесс.

Рассмотрим эргодический центрированный гауссовский процесс с корреляционной функцией Средняя мощность этого процесса, вычисленная как средний квадрат за интервал времени Т,

где интеграл понимается в среднеквадратическом смысле. Характеристическую функцию случайной величины можно определить по формуле (11.13). Характеристические числа содержащиеся в этой формуле, следует находить из уравнения (11.8), причем

а корреляционная функция в указанном уравнении совпадает с . Таким образом, в рассматриваемом случае характеристические числа, определяющие распределения средней мощности за время усреднения Т, можно получить из интегрального уравнения

(11.50)

Заметим, что (11.49) представляет импульсную функцию идеального интегратора, ширина полосы частот которого пропорциональна

Найдем распределение средней мощности для случая, когда

Интегральное уравнение (11.50) нетрудно привести к линейному дифференциальному уравнению второго порядка. Представляя (11.50) с учетом (11.51) в виде

(11.52)

и дифференцируя обе части этого равенства дважды по 2, находим

или

(11.53)

Общее решение уравнения (11.53), как известно, имеет вид

(11.54)

где

(11.55)

Подставляя (11.54) в (11.50) убеждаемся, что это решение является собственной функцией интегрального уравнения только в тех случаях, когда и, кроме того, величина b удовлетворяет одному из трансцендентных уравнений

(11.56)

Таким образом, характеристические числа интегрального уравнения (11.50) для случайного процесса с экспоненциальной корреляционной функцией (11.51) 1

(11.57)

где — корни уравнений (11.56).

Используя (11.29) и (11.57) и заменяя на находим кумулянты средней мощности при помощи которых указанной в § 7.3 методике можно получить приближенное распределение случайной величины

На рис. 11.1 построены кривые аппроксимации (плотностей вероятности средней мощности для нескольких значений параметра с погрешностями, не превышающими одного процента [34].

Рис. 11.1. Плотность вероятности средней мощности гауссовского процесса

При (т. е. при ) представляет одномерное распределение квадрата стационарного гауссовского случайного процесса [см. (3.12 а)]. При увеличении (увеличении времени Т усреднения) выявляется минимум плотности вероятности при , т. е. в районе среднего значения средней мощности Заметим, что дисперсия средней мощности

(11.58)

стремится к нулю при неограниченном возрастании времени усреднения

(11.59)

Распределение средней мощности при этом асимптотически нормальное

11.4.2. Средняя мощность огибающей гауссовского процесса.

Пусть — гауссовский узкополосный эргодический случайный процесс с нулевым средним и симметричным относительно центральной частоты энергетическим спектром Корреляционную функцию такого процесса можно представить в виде , где - корреляционная функция любой из двух квадратурных составляющих процесса или (см. п. 10.3.1). Средняя мощность огибающей процесса на интервале времени Т

(11.61)

Характеристическую функцию случайной величины можно определить по общей формуле (11.24). Характеристические числа, содержащиеся в этой формуле, следует находить из интегрального уравнения (11.21), которое в рассматриваемом случае «можно представить в виде

(11.62)

Если

(11.63)

то характеристические числа уравнения (11.62) находятся из решения трансцендентных уравнений (11.56).

Конечно, распределение средней мощности огибающей узкополосного гауссовского процесса отличается от распределения средней мощности широкополосного гауссовского процесса, рассмотренного в п. 11.4.1, так как одни и те же характеристические числа подставляются в различные формулы: (11.24) для огибающей и (11.13) для широкополосного процесса.

Среднее значение случайной величины равно а ее дисперсия совпадает с дисперсией случайной величины [см. (11.58)]. Распределение средней мощности огибающей эргодического гауссовского процесса асимптотически нормальное с параметрами .