1.2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.2.1. Правило сложения вероятностей для несовместимых событий.

Если — несовместимые события, то вероятность появления одного из событий равна сумме вероятностей этих событий:

Формула (1.4) непосредственно следует из аксиомы 3 (см. п. 1.1.3).

Если несовместимые события составляют полную группу, то одно из них появляется обязательно и, следовательно, . Учитывая (1.4), получаем для полной группы событий

Полная группа может представлять счетное множество событий, причем при так что

Если полная группа состоит из двух событий , то из (1.5) следует

Пусть случайных событий, составляющих полную группу, равновероятны, т. е. . По формуле (1.5) находим вероятность появления одного из равновероятных событий, составляющих полную группу:

В соответствии с (1.4) и (1.7) вероятность одного из событий, входящих в полную группу равновероятных событий,

1.2.2. Правило умножения.

Два события А и В называют зависимыми, если вероятность события А зависит от того, произошло или нет другое событие В. Вероятность совместного наступления двух зависимых случайных событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность появления другого, вычисленную в предположении, что первое событие совершилось:

В (1.9) входят вероятности двух родов: безусловная вероятность события А (события В) и условная вероятность события В (события А), в предположении, что произошло событие А (событие В).

Поэтому безусловные вероятности иногда называют априорными, а условные вероятности — апостериорными.

Когда события А и В независимы, априорные и апостериорные вероятности становятся равными друг другу:

и из (1.9) следует

Равенство (1.11) может служить определением независимости двух случайных событий А и В и распространяется на произвольное число независимых (в совокупности) событий

Если события зависимы, то

1.2.3. Правило сложения для совместимых событий.

Рассмотрим сначала совокупность независимых событий. Пусть — событие, противоположное событию Тогда появление хотя бы одного (безразлично какого) из событий исключает возможность совместного наступления всех событий . Поэтому в соответствии с (1.6) . Так как взаимно независимы, то по правилу умножения (1.12) . Кроме того, . Следовательно,

Формула (1.14) позволяет вычислить вероятность наступления по меньшей мере одного из совместимых независимых событий по заданным вероятностям этих событий.

Выполним умножение в правой части (1.14) и обозначим

{Каждая комбинация индексов в суммах появляется один и только один раз, поэтому содержит -членов.) Последний член

Тогда формулу (1.14) можно переписать в виде

В частном случае при из (1.15) следует

Так как в сумму дважды включаются те случаи, когда события появляются совместно, то из нее вычитается вероятность совместного появления независимых событий

Для произвольного формула (1.16) трактуется аналогично на основании так называемого принципа включения и исключения: включается все и исключается лишнее, включается ошибочно исключенное и т. д., т. е. попеременное включение и исключение. Используя этот принцип, нетрудно доказать, что формула (1.15) остается справедливой и для совокупности зависимых событий, если только в формулах для заменить произведения вероятностей вероятностями совмещения событий:

Первый член в (1.15) всегда равен сумме вероятностей, т. е. соответствует несовместимости событий, а остальные члены дают поправку за счет того, что события в действительности совместимы. Тогда, когда вероятностями совмещения событий можно пренебречь по сравнению с априорными вероятностями самих событий, вместо обобщенного правила сложения (1.15) можно с известным приближением пользоваться обычным правилом (1.4) для совместимых событий.

1.2.4. Формула полной вероятности.

Иногда необходимо определить вероятность события А, появляющегося с одним из взаимно несовместимых событий составляющих полную группу, т. е.

События , часто называют гипотезами, связанными с наступлением события А. Так как при то, используя правило сложения, представим вероятность события А в виде суммы

Согласно правилу умножения каждое слагаемое этой суммы и, следовательно,

Соотношение (1.18) называют формулой полной вероятности. Этй формула позволяет определить вероятность события А, если известны априорные вероятности гипотез и апостериорные вероятности события А при условии, что одна из гипотез подтвердилась.

1.2.5. Формула Байеса.

Пусть, как в п. 1.2.4, совокупность событий (гипотез) составляет полную группу. Используя правило умножения, находим

и, подставив вместо вероятности ее значение по формуле полной вероятности (1.18), получим формулу Байеса

Если известны априорные вероятности гипотез и апостериорные вероятности события А при условии , то по формуле Байеса можно найти апостериорную вероятность гипотезы при условии, что событие А осуществилось. Формулу Байеса поэтому называют иногда формулой обратной вероятности.