Глава 17. СИНТЕЗ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ОБНАРУЖЕНИЯ СИГНАЛОВ (МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ)

17.1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ОПТИМАЛЬНОСТЬ

17.1.1. Асимптотический принцип синтеза алгоритмов обнаружения сигналов.

Задачи синтеза алгоритмов обнаружения сигналов, рассмотренные в гл. 12—16, решались с использованием выборок конечных размеров. Однако во многих случаях анализ рабочих характеристик алгоритмов удается провести только при неограниченном увеличении размеров выборок, например на основе коэффициента асимптотической относительной эффективности (КАОЭ).

Асимптотический принцип можно использовать и при синтезе алгоритма обнаружения сигнала, применив затем такой алгоритм в допредельной ситуации, т. е. при конечном размере выборки.

Предположим, что одновременно амплитуда сигнала и размер выборки Тогда при заданной вероятности а ложной тревоги существует предельное значение (отличающееся от 0 и 1) вероятности (3 пропуска сигнала, если только

Ясно, что для любого состоятельного алгоритма вероятность пропуска сигнала при , если Условие (17.1) допускает простое объяснение: значение пропорциональное отношению мощности сигнала к мощности помехи после обработки, и, следовательно, это условие ограничивает указанное отношение при предельном переходе (см., например, п. 13.7.5). При более быстром стремлении к нулю амплитуды сигнала отношение сигнал-помеха стремится к нулю, а при более медленном — неограниченно возрастает. В первом случае вероятность правильного обнаружения стремится к нулю, а во втором — к единице. Ограничение (17.1) исключает, таким образом, сингулярные алгоритмы обнаружения.

17.1.2. Определение асимптотически оптимального алгоритма.

Дадим теперь точное определение понятия асимптотической оптимальности. Условимся, как обычно в теории обнаружения сигналов, считать оптимальным такой алгоритм обнаружения , который при фиксированной вероятности ложных тревог обеспечивает для заданного размера выборки минимальную вероятность пропуска сигнала (критерий Неймана — Пирсона).

Пусть последовательность амплитуд сигнала, определенным образом сходящаяся к нулю, когда размер выборки неограниченно возрастает. Рассмотрим последовательность алгоритмов обнаружения сигналов амплитудами Обозначим вероятность пропуска сигнала, соответствующую через Назовем последовательность алгоритмов асимптотически оптимальной, если для любой другой последовательности алгоритмов имеет место соотношение

при фиксированном уровне вероятности а ложных тревог, который следует трактовать также асимптотически, т. е.

Скорость сходимости последовательности к нулю при не произвольна. Должно выполняться условие

где — ограниченная положительная константа, пропорциональная отношению сигнал-помеха.

Для асимптотически оптимального алгоритма при условии (17.4) существует предел

Предельный алгоритм использует предельную нормированную статистику с конечными параметрами распределения этой статистики, зависящими от константы у. При больших размерах выборки рабочая характеристика асимптотически оптимального алгоритма мало отличается от аналогичной характеристики алгоритма оптимального по критерию Неймана — Пирсона.

Использование асимптотически оптимального алгоритма в допредельном случае окажется целесообразным при быстрой сходимости к оптимальному. Заметим, что при решении практических задач амплитуда сигнала может и не удовлетворять условию (17.4). Но и тогда в допредельном случае можно использовать асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения сигнала. При этом рабочая характеристика алгоритма определяет верхнюю границу вероятности правильного обнаружения при и нижнюю границу этой вероятности при (когда алгоритм обнаружения состоятельный).

17.1.3. Асимптотически наиболее эффективные алгоритмы обнаружения сигналов.

Рассмотрим две последовательности алгоритмов обнаружения сигнала, для которых пределы вероятностей ложных тревог при , когда совпадают:

Пусть — последовательности амплитуд сигнала, сходящиеся к нулю при и пусть существует общий предел вероятностей пропуска сигнала для указанных последовательностей алгоритмов

Введем КАОЗ уровня последовательности алгоритмов относительно последовательности [см. (12.34) и (12.34а)]:

(17.8)

где когда

Назовем последовательность асимптотически наиболее эффективной (АНЭ) последовательностью алгоритмов обнаружения сигнала, если для любых и заданных величин

Если при фиксированном значении а неравенство (17.9) выполняется для любых , то алгоритм называется равномерно асимптотически наиболее эффективным (РАНЭ).

Из (17.2), (17.7) и (17.9) следует, что асимптотически оптимальный алгоритм обнаружения сигнала является также и асимптотически наиболее эффективным алгоритмом. Это позволяет использовать КАОЭ в качестве показателя асимптотической оптимальности.

17.1.4. Коэффициент асимптотической относительной эффективности.

Из определения (17.8) непосредственно не следует метод вычисления КАОЭ. Однако можно показать, что при условии существования конечных пределов (что имеет место для асимптотически оптимальных алгоритмов)

(17.10 а)

КАОЭ алгоритма б по отношению к произвольному алгоритму [ср. с (13.162)]

где — минимальные корни уравнений

(17.12)

Интуитивное обоснование формулы (17.11) следует из того, что при заданном значении существуют последовательности неограниченно возрастающие при для которых

(17.13)

17.1.5. Количественная мера устойчивости асимптотически оптимальных алгоритмов обнаружения сигнала.

При практическом применении асимптотически оптимальных алгоритмов возникает вопрос: насколько чувствительны характеристики обнаружения сигнала к изменению распределения вероятностей помех, для которого используемый алгоритм асимптотически оптимальный. Свойство алгоритма сохранять в определенных пределах свои характеристики при измении помеховой обстановки назовем его устойчивостью.

Таблица 17.1

Пусть w — плотность распределения помехи, по отношению к которой алгоритм в реализованном обнаружителе сигнала асмиптотически оптимальный, и пусть и — плотность распределения помехи в изменившихся условиях. В качестве меры устойчивости примем КАОЭ алгоритма используемого при «чужой» помехе (с плотностью распределения ), по отношению к алгоритму асимптотически оптимальному для этой («чужой») помехи.

Предположим, что односторонние алгоритмы обнаружения сигнала предписывают сравнение с порогом асимптотически нормальных статистик. Пусть среднее значение и дисперсия для предельного нормального распределения при гипотезе (сигнала нет) и при альтернативе К (сигнал присутствует) принимают значения, приведенные в табл. 17.1.

При заданной вероятности а ложных тревог вероятности пропуска сигнала равны: при использовании алгоритма

(17.14 а)

при использовании алгоритма

(17.146)

где — процентная точка нормального распределения.

Подставляя (17.14 а, б) в (17.12), находим

(17.15)

Вследствие монотонности интеграла Лапласа полученные величины являются единственными корнями уравнений (17.12).

Подставляя (17.15) в (17.11), определяем КАОЭ алгоритма по отношению к алгоритму

(17.16)

Заметим, что отношения можно рассматривать как меры «расстояний» между предельными распределениями статистик при гипотезе и альтернативе К соответственно.

17.1.6. Неоднозначность асимптотически оптимальных алгоритмов.

Пусть — две последовательности алгоритмов обнаружения сигнала, использующие статистики и пусть алгоритм асимптотически оптимальный . Если при когда

при гипотезе Н, то алгоритм обнаружения также асимптотически оптимальный.

Указанное обстоятельство открывает возможность поиска асимптотически оптимальных алгоритмов с желаемыми дополнительными свойствами, например с более простой структурой, чем оптимальные при конечных размерах выборок, или с непараметрическими свойствами. Конечно, различные асимптотически оптимальные алгоритмы будут иметь различную скорость сходимости допредельных алгоритмов к предельным и в этом отношении одни асимптотически оптимальные алгоритмы будут лучше других.

17.1.7. Асимптотически достаточные статистики.

Синтез асимптотически оптимальных алгоритмов обнаружения сигналов на фоне помех основан на исследовании асимптотических свойств логарифма отношения правдоподобия и определении в результате асимптотически достаточной статистики. Если отношение правдоподобия факторизуется (т. е. логарифм отношения правдоподобия представляет сумму случайных величин) и если применена центральная предельная теорема, то распределение указанной статистики асимптотически нормальное. Можно ожидать, что структура асимптотически оптимального алгоритма, использующего такую асимптотически нормальную достаточную статистику, будет аналогична структуре оптимального алгоритма обнаружения сигнала на фоне гауссовской помехи. Специфическим будет лишь устройство формирования асимптотически достаточной статистики, параметры которой определяются только распределением вероятностей помехи.

Прежде чем приступить к исследованию асимптотических свойств логарифма отношения правдоподобия, необходимо сформулировать условия, которым должны удовлетворять вероятностные модели наблюдений — помехи и смеси сигнала с помехой.