15.3.5. Отношение сигнал-помеха на выходе оптимального фильтра.
Оптимальность использования фильтра с характеристикой (15.95) для обнаружения детерминированного сигнала 
на фоне аддитивной гауссовской помехи можно объяснить и с другой точки зрения. Для этого рассмотрим отношение квадрата сигнала на выходе произвольного линейного фильтра в конце наблюдения
(15.105 а)
к дисперсии помехи на выходе фильтра
(15.105 б)
где 
— импульсная характеристика фильтра, 
— корреляционная функция помехи.
Рис. 15.9. Реакция согласованного фильтра на входной импульс
Рис. 15.8. Сигнальная функция (а) и импульсная характеристика (б) согласованного фильтра
Величину 
называют отношением сигнал-помеха. Так как для любого фильтра 
, то
или
(15.105 в)
причем знак равенства соответствует максимальному отношению сигнал-помеха. Нетрудно проверить, что левая часть (15.105в) обращается в нуль для функции 
удовлетворяющей интегральному уравнению
(15.106)
причем
(15.107)
Уравнение (15.106) при 
не отличается от (15.87) и, следовательно, определяет импульсную характеристику оптимального фильтра, а параметр 
рабочей характеристики оптимального алгоритма обнаружения совпадает при этом с максимальным отношением сигнал-помеха 
с (15.90)].
Для белого шума с интенсивностью 
из (15.107) следует
т. е. максимальное отношение сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра равно отношению энергии сигнала 
на интервале (0, Т) к спектральной плотности N о шума.
Заметим, что в конце интервала наблюдения t=T реакция 
согласованного фильтра на входной сигнал s(t) максимальна [см. (15.105а) и рис. 15.9].
Обозначая мощность сигнала 
и мощность шума 
в полосе F, запишем (15.107 а) в виде
(15.108)
Величину 
называют базой сигнала.
Формулу (15.107) можно выразить через спектральные характеристики сигнала и помехи:
(15-109)
где 
— спектральная плотность мощности помехи. Для белого шума из (15.109) следует
