1.1.2. Алгебра событий.

Как уже отмечалось, рассматриваемая модель эксперимента априори характеризуется множеством возможных результатов. Каждый элемент этого множества называется элементарным событием, а все множество, обозначаемое символом — пространством элементарных событий. Подмножества множества называют событиями.

Вводятся две логические операции над событиями: объединение событий (логическая операция ИЛИ) и пересечение (совмещение) их (логическая операция И). Объединением (суммой) событий А и В, обозначаемым символом называется событие, состоящее в появлении А или В или того и другого события. Объединением совокупности событий обозначаемым называется событие, состоящее в появлении, по крайней мере, одного из событий .

Пересечением (произведением) событий А и В, обозначаемым символом называется событие, состоящее в совместном появлении событий А и В (имеется в виду совместимость, в общем случае логическая, а не обязательно во времени и пространстве). Пересечением совокупности событий обозначаемым называется событие, состоящее в совместном появлении всех событий .

Событие, включающее все элементы (пространства , называется достоверным. Событие, не содержащее ни одного элемента пространства , называется невозможным (пустое множество, обозначаемое символом ).

События А и В называются несовместимыми, если их пересечение невозможно: . Совокупность несовместимых событий образует полную группу, если объединение этих событий достоверно: .

Противоположным (дополнительным) событием А событию A называется событие, состоящее из элементов пространства , не принадлежащих А. События А и А образуют полную группу событий, так как

Событие А влечет за собой если при появлении события А обязательно происходит событие В. Если А влечет за собой В а В влечет за собой А, то события А и В называются эквивалентными

Система подмножеств множества называется алгеброй если из того, что , следует и если , то . Таким образом, алгебра есть класс множеств, замкнутых относительно конечного (для булевой алгебры) или счетного (для сигма-алгебры) количества операций объединения, пересечения и дополнения. В качестве системы событий в теории вероятностей рассматриваются системы множеств, которые представляют указанные алгебры.