7.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

7.4.1. Характеристика системы.

В § 7.1-7.3 рассматривались случайные процессы, проходящие через линейные системы, характеристики которых представлялись заданными детерминированными функциями.

Наряду с этим следует также исследовать характеристики процессов на выходе линейных инерционных систем, параметры которых случайны. Примерами таких систем являются большинство каналов, в которых происходит распространение радиосигналов от передатчика к приемнику.

За характеристики линейной системы примем импульсную характеристику и передаточную функцию однако в отличие от предыдущего эти функции соответственно для каждой величины и для каждой частоты , рассматриваемых как действительные параметры, представляют случайные процессы. Эти характеристики представляют пару преобразований Фурье

(7.100б)

где интегралы определены в среднеквадратическом.

Корреляционную функцию линейной системы со случайными параметрами определим следующим образом:

(7.101)

Для стационарных (в широком смысле) линейных систем

(7.102)

В этом случае можно также характеризовать линейную систему преобразованием Фурье по от вводя частотную функцию двух переменных

Заметим, что для линейной системы с постоянными параметрами и, следовательно,

(7.104)

т. е. не зависит от и совпадает с квадратом частотной характеристики системы. Функция переходит при этом в

7.4.2. Корреляционная функция процесса на выходе системы.

Воспользуемся введенными вероятностными характеристиками линейной системы со случайными параметрами для определения корреляционной функции процесса на выходе такой системы, когда на вход ее поступает случайный процесс корреляционная функция которого равна

Запишем общее соотношение, связывающее процесс на выходе линейной системы с процессом на входе:

(7.106)

где интеграл понимается в среднеквадратическом.

Теперь выражение для корреляционной функции процесса , можно представить в виде

(7.107)

В дальнейшем будем предполагать, что случайный процесс и случайная импульсная характеристика линейной системы статистически независимы. Тогда из (7.107), изменяя порядок интегрирования и усреднения, а также заменяя и на на получаем

(7.108)

Выразим ковариацию импульсных характеристик системы через корреляционную функцию системы. Используя (7.101) и (7.100 а), находим

(7.109)

и, подставляя (7.109) в (7.108), получаем

(7.110)

Если процесс на входе стационарный в широком смысле, то

(7.111)

и тогда из (7.110), изменяя порядок интегрирования, находим, что внутренний интеграл по можно выразить через спектральную плотность мощности процесса на входе следующим образом (см. также Приложение 1):

(7.112)

Подставляя (7.112) в (7.110) и используя фильтрующее свойство дельта-функции, окончательно получаем

(7.113)

Для стационарной (в широком смысле) системы [см. (7.102)]

7.4.3. Спектральная плотность мощности процесса на выходе системы.

В соответствии с (7.114), используя теорему Хинчина — Винера, находим

Вводя функцию [см. (7.103)], получаем

Из (7.116), как частный случай для линейной системы с постоянными параметрами, следует формула (7.49). Действительно, подставляя (7.105) в (7.116) и используя фильтрующее свойство дельта-функции, приходим к (7.49).

Используя (7.115), а также теорему Хинчина — Винера, можно выразить корреляционную функцию процесса на выходе линейной системы через корреляционные функции системы и процесса на входе:

(7.117)

где

(7.118)

7.4.4. Частные случаи входного процесса.

Если на вход системы со случайными параметрами действует белый шум со спектральной плотностью то из (7.114) и (7.116) находим

(7.119)

Для входного процесса, представляющего гармоническое колебание постоянной амплитуды частоты и случайной фазы, распределенной равномерно на интервале имеем в соответствии с (4.119)

(7.121)

7.4.5. Случайная задержка.

Предположим, что передаточная функция линейной ристемы со случайными параметрами представляется в виде

(7.123)

где — стационарный случайный процесс. Тогда в соответствии с (7.100 а)

и из (7.106) следует

(7.124)

Таким образом, линейная система с характеристикой (7.123) осуществляет задержку значений случайного процесса на случайную величину

Найдем выражение корреляционной функции рассматриваемой линейной системы. Согласно (7.102) имеем

или

(7.125)

где — двумерная характеристическая функция стационарного случайного процесса

Предположим теперь, что процесс гауссовский, центрированный. Тогда, используя (5.146), находим из (7.125)

(7.126)

где — нормированная корреляционная функция и дисперсия гауссовского случайного процесса

Заметим, что при любом фиксированном значении функция изменяется от единицы при до при

В соответствии с (7.114) корреляционная функция процесса

Из (7.127) следует, что средняя мощность процесса равна средней мощности исходного процесса

С другой стороны, по формуле (7.118) находим

(7.128)

Подставляя (7.128) в (7.117), получаем

(7.129)

Если случайный процесс представляет белый шум со спектральной плотностью то из (7.127) следует

(7.130)

Из (7.130) видно, что неограниченно, т. е. средняя мощность процесса на выходе системы остается бесконечной, как и у процесса на входе (белого шума). Однако в отличие от входного дельта-коррелированного процесса значения процесса на выходе коррелированы.

Если случайный процесс представляет профильтрованный белый шум со спектральной плотностью (см. п. 7.2.8), то из (7.127) видно

(7.131)

7.4.6. Гармоническое колебание, модулированное по фазе гауссовским случайным процессом.

Предположим, что гармоническое колебание постоянной амплитуды частоты со случайной фазой, распределенной равномерно на интервале , модулировано по фазе гауссовским центрированным стационарным случайным процессом. Тогда запишется в виде

(7.132)

Спектральная плотность мощности немодулированного квазидетерминированного гармонического колебания [см. (4.119)]

Подставляя (7.133) в (7.127), получаем

(7.134)

Используя теорему Хинчина — Винера, находим спектральную плотность мощности модулированного процесса

(7.135)

Предположим, что изменения медленные по сравнению с , т. е. что спектр модулирующего процесса низкочастотный и ширина полосы этого спектра много меньше несущей частоты Тогда вторым интегралом в (7.135) можно пренебречь по сравнению с первым и получить

Интеграл в правой части (7.136) сходится при юсоо и неограничен при что указывает на наличие дельта-функции (дискретной линии) в спектре процесса при Переписывая (7.136) в виде

представим спектр как сумму дискретной и непрерывной частей

При интенсивность дискретной составляющей спектра пренебрежимо мала, а для непрерывной части можно получить простое приближение. Разлагая в показателе экспоненты в подынтегральном выражении в ряд Тейлора, ограничиваясь двумя первыми членами и предполагая дифференцируемость в среднеквадратическом, получаем при

(7.138)

Таким образом, в рассматриваемом случае спектр модулированного по фазе колебания непрерывный и имеет форму гауссовой кривой с вершиной в точке Ширина полосы этого спектра рана Заметим, что в рассматриваемом случае гауссовская форма спектра процесса получается три любом спектре процесса и зависимость от энергетических характеристик процесса определяется только значением

Если то, разлагая показатель экспоненты в подынтегральном выражении (7.137) в ряд по степеням и ограничиваясь линейным приближением, находим

откуда следует

(7.140)

Таким образом, в первом приближении при спектр, получаемый в результате фазовой модуляции гармонического колебания гауссовским процессом, представляет суперпозицию дискретной линии исходного гармонического колебания и спектра модулирующего процесса, смещенного по оси частот на значение, равное частоте несущего колебания и умноженное на постоянный масштабный коэффициент