10.4. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФАЗЫ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА

10.4.1. Одномерная плотность и моменты.

Сравнивая (10.48) с (3.49), приходим к выводу, что задача нахождения плотности вероятности фазы узкополосного гауссовского случайного процесса совпадает с решенной в п. 3.2.5 задачей определения плотности вероятности фазы вектора с независимыми гауссовскими компонентами, средние значения которых отличны от нуля.

Используя (3.57), запкшем одномерную плотность вероятности фазы случайного процесса (10.35)

(10.94)

где

Заметим, что функция (10.94) зависит как от огибающей так и от фазы (0 детерминированного слагаемого процесса, в то время как плотность вероятности огибающей содержит в качестве параметра только огибающую , но не фазу . Если детерминированное слагаемое (сигнал) представляет гармоническое колебание частоты и амплитуды то из (10.94) следует

(10.95)

где через обозначено отношение амплитуды колебания к среднеквадратическому значению стационарного гауссовского процесса (шума).

Очевидно, что в фиксированный момент времени функция (10.94) имеет такой же вид, что и (10.95), если только начало координат перенести в точку и обозначить . Семейство кривых для нескольких фиксированных значений s показано на рис. 3.7.

Сопоставляя произведение функций (10.56) и (10.94) с совместной плотностью вероятности огибающей и фазы в совпадающие моменты времени, убеждаемся, что огибающая и фаза зависимы. Они не зависимы только при отсутствии детерминированной части, процесса К

Когда сигнал отсутствует что соответствует равномерному распределению фазы узкополосного стационарного гауссовского процесса.

При т. е. при амплитуде сигнала, много меньшей среднеквадратического значения шума (слабый сигнал), в соответствии с (3.58)

Из (10.96) следует, что при слабом сигнале плотность вероятности фазы представляет косинусоиду, смещенную вдоль оси ординат на с амплитудой

Если т. е. амплитуда сигнала много большей среднеквадратического значения шума (сильный сигнал), в соответствии с (3.59)

(10.97)

При можно считать, что , а для небольших значений

т. е. фаза в этом случае подчиняется нормальному закону распределения с дисперсией равной отношению шум-сигнал.

Центральные моменты фазы нечетного порядка равны нулю, а четного порядка определяются по формуле (3.64).

Дисперсия фазы совпадает со вторым центральным моментом [см. (3.65)]

(10.99)

где определяются согласно (3.63).

При слабом сигнале можно ограничиться первым членом ряда (10.99) и тогда [см. (3.63)]

или

Для сильного сигнала дисперсия фазы убывает с ростом амплитуды сигнала, причем

(10.99б)

10.4.2. Двумерная плотность вероятности фазы стационарного гауссовского процесса.

При из (10.55) следует

Вычисление интеграла (10.100) приводит к выражению (см., например, [1])

где

(10.102)

Сопоставляя произведение функций (10.60) и (10.101) с совместной плотностью (10.55) (при ) огибающей и фазы узкополосного стационарного гауссовского случайного процесса, убеждаемся, что огибающая и фаза зависимы.

При величины и из (10.101) следует

Из (10.100) видно, что двумерная плотность вероятности фазы — периодическая функция переменной . Поэтому ее можно представить рядом Фурье по этой переменной. Для этого воспользуемся известной формулой

(10.103)

и тогда из (8.69) после элементарной замены переменной интегрирования получим

(10.104)

где

Так как то (10.104) можно переписать в виде

(10.1046)

причем

На рис. 10.2 построены функции для .

Рис. 10.2. Функция

10.4.3. Двумерная плотность вероятности фазы суммы детерминированного и стационарного гауссовского процессов.

В общем случае двумерную плотность вероятности фазы можно также представить кратным рядом Фурье по переменным и Для этого в интеграле (10.55) перейдем к переменным и воспользуемся формулой (10.103). Ограничимся сигналом вида и предположим, что спектр гауссовского шума симметричен относительно частоты вследствие чего Тогда из (10.55), полагая получаем

Меняя порядок суммирования и интегрирования и обозначая коэффициенты разложения

(10.105)

находим искомое разложение двумерной плотности вероятности фазы в кратный ряд Фурье

(10.106)

Если сигнал отсутствует, то при всех значениях , кроме и тогда из (10.106) получаем (10.104), причем

10.4.4. Корреляционная функция фазы.

Из (10.106) находим корреляционную функцию фазы узкополосного гауссовского процесса

Переменные в двойном интеграле разделяются и вычислить каждый интеграл несложно. В результате

(10.107)

Если сигнала нет, то

(10.108)

При из (10.108) следует , а при ряд сходится к — дисперсии фазы.

Явное выражение в виде степенного ряда по получается путем подстановки (10.104 а) в (10.108)

10.4.5. Распределение разности фаз и его моменты.

Одномерную плотность вероятности разности фаз гауссовского стационарного случайного процесса нетрудно получить непосредственно из (10.101), так как в этом случае зависит только от разности фаз. Поэтому

(10.110)

где

Если , то . На рис. 10.3 построены зависимости для нескольких значений . Можно доказать, что .

Рис. 10.3. Плотность вероятности разности фаз гауссовского процесса

Используя (10.106), нетрудно определить плотность вероятности разности фаз гауссовского процесса, когда

(10.111)

Моменты распределения разности фаз

(10.112)

Дисперсия разности фаз равна

(10.113)

При получаем выражение, аналогичное (10.99):

(10.114)

в котором заменено на .