6.2. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ (ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ)

6.2.1. Характеристика «вход-выход».

Линейная (динамическая) система с дискретным временем характеризуется тем, что значение выходного сигнала получается суперпозицией (сложением) значений входного сигнала, умноженных на весовой коэффициент зависящий в общем случае и от момента воздействия сигнала и от момента наблюдения сигнала Таким образом, сигнал на выходе линейной системы с дискретным временем можно выразить через значения сигнала на входе в виде суммы

Функцию называют импульсной характеристикой линейной системы с дискретным временем, а сумму (-сверткой импульсной характеристики с входным сигналом. Для физически реализуемой линейной системы три . В этом случае из (6.10) следует

Если параметры линейной системы постоянны во времени она инвариантна), то ее импульсная характеристика зависит только от одного аргумента — разности . Для таких систем соотношение (6.10) преобразуется к виду

или с учетом физической реализуемости

Заменой индекса суммирования соотношения (6.12) и (6.13) преобразуются к виду

и соответственно, с учетом физической реализуемости,

Формулы (6.10) — (6.15) описывают характеристики «вход—выход» линейных динамических систем с дискретным временем. Заметим, что (6.15) совпадает с линейным членом разложения (6.8) характеристики «вход — выход» динамической системы общего вида.

6.2.2. Передаточная функция.

При анализе инвариантных линейных систем с дискретным временем вместо рассмотренных в. п. 6.2.1 соотношений между входным и выходным сигналами часто используют соотношения между -преобразованиями. Как известно, -преобразование функции целочисленного аргумента

где 2 — комплексная переменная, причем функция определена для тех значений z, при которых степенной ряд (6.16) сходится. Обратным -преобразованием является

(6.16а)

где с — замкнутый контур в области сходимости, охватывающий начало координат.

Основные свойства преобразования (6.16) аналогичны свойствам преобразований Фурье и Лапласа. В частности, -преобразование свертки двух функций целочисленного аргумента равно произведению -преобразований этих функций. Применяя это правило к (6.12) и обозначая через преобразования сигналов и импульсной характеристики получаем

Функция называется передаточной функцией инвариантной линейной системы с дискретным временем.

6.2.3. Характеристика «вход — выход» в форме разностного уравнения.

Полезной формой представления характеристик «вход — выход» некоторых инвариантных физически реализуемых линейных систем с дискретным временем (цифровых фильтров) являются линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами

причем

Если в (6.18) при по крайней мере, еще при одном значении i и при одном значении коэффициенты то цифровой фильтр называют рекурсивным. В этом случае выход зависит не только от «хода, но и от (предыдущих значений выхода. Если же в (6.18) то цифровой фильтр называют нерекурсивным. В этом случае выход представляет весовую сумму входных величин [27].

Совершая -преобразования над обеими частями уравнения (6.18) и учитывая, что -преобразование функции со смещенным аргументом равно получаем при нулевом начальном состоянии системы

Из (6.17) и (6.19) следует, что передаточная функция линейной системы, которая характеризуется уравнением (6.18),

Формула (6.20) при заданных коэффициентах а и служит основой для построения цифровых фильтров с минимальным числом сумматоров, усилителей и элементов задержки (см., например, [25]).

6.2.4. Характеристика «вход — состояние — выход».

Принимая текущие значения выходного сигнала за переменные состояния, можно заменить разностное уравнение (6.18) n-го порядка системой линейных разностных уравнений первого порядка, записанной в матричной форме (см., например, [16, 26], а также п. 6.3.5):

где — вектор-столбец состояний,

Общее решение уравнения (6.21)

где

Уравнение (6.21) представляет так называемое каноническое уравнение состояния линейной системы с дискретным временем. Это уравнение совместно с уравнением

где

представляет характеристику «вход — состояние — выход» [см. (6.3) и (6.4)].