13.8.8. Двусторонний знаковый алгоритм.

Если проверяется гипотеза Н о том, что независимая однородная выборка принадлежит симметричному относительно нуля распределению с плотностью против альтернативы что эта выборка принадлежит тому же симметричному распределению, но с плотностью причем сдвиг и может быть любого знака, то следует использовать двусторонний знаковый алгоритм. Решение принимается, если [см. (13.152)]

Вероятность ошибки первого рода [ср. с (13.177)]

(13.1916)

а вероятность ошибки второго рода [ср. с (13.178)]

Нетрудно доказать несмещенность алгоритма (13.191 а).

При 1 аналогично (13.179 а и 6) находим

(13191 г)

Из (13.191г) при следует, что в алгоритме (13.191а)

(13.191 е)

Подставляя (13.194 е) в (13.194 д), находим

(13.191 ж)

Сравним теперь двусторонний знаковый алгоритм (13.191 а) с алгоритмом (13.98) при оптимальным для проверки гипотезы Н о том, что среднее значение а гауссовской случайной величины равно нулю, против сложной альтернативы что

Для независимой выборки при заданной вероятности а ошибок первого рода алгоритм (13.98) в этом случае представляется в виде

(13.191 з)

где — известная дисперсия гауссовской случайной величины.

Предположим, что двусторонний алгоритм (13.191 з) используется для проверки гипотезы Н против альтернативы К при произвольном симметричном распределении

Так как сумма при альтернативе К асимптотически нормальна с параметрами , то из (13.191 з) следует, что при вероятность ошибки второго рода

Из сравнения (13.191 ж, и) с аналогичными формулами (13.188), (13.189в) непосредственно следует, что КАОЭ двустороннего знакового алгоритма (13.191 а) по отношению к двустороннему линейному алгоритму (13.191 з) равен аналогичному коэффициенту для односторонних алгоритмов, т. е. определяется по формуле (13.190).

Из (13.110) следует, что при неизвестной дисперсии оптимальный (несмещенный РНМ) по критерию Неймаяа — Пирсона алгоритм проверки рассматриваемых гипотез о среднем значении гауссовской случайной величины при заданной вероятности а ошибок первого рода представляется в виде

где — процентная точка распределения Стьюдента. Квадрат знаменателя в левой части (13.191 к) — несмещенная оценка дисперсии Поэтому при для однородной независимой выборки из произвольного распределения алгоритмы (13.191 к и з) совпадают. Следовательно, формула (13.190) остается также справедливой и для КАОЭ двустороннего знакового алгоритма по отношению к алгоритму (13.191 к).