21.5. ЗАДАЧИ

21.1. Рассмотреть задачу п. 21.1.3 в предположении, что наблюдаемая на интервале реализация аддитивной смеси сигнала (21.15) и центрированной гауссовской помехи подвергается временной дискретизации, в результате которой получают выборку п. Доказать, что оценка максимального правдоподобия неизвестного векторного параметра сигнала

где

— матрица размером с линейно-независимыми (в алгебраическом смысле) столбцами, причем столбец представляет вектор

— нормированная матрица (размером ) гауссовской помехи. Доказать, что оценка (1) несмещенная, а ее корреляционная матрица

21.2. Показать, что оптимальная дискретно-аналогов а я оценка неизвестной амплитуды а сигнала на фоне аддитивной центрированной гауссовской помехи по критерию максимального правдоподобия

где — корреляционная матрица помехи.

Доказать, что оценка (6) несмещенная и эффективная, причем информация по Фишеру

Полезно сравнить (6) с (21.36), а (7) с (21.396).

21.3. Показать, что оптимальная байесовская дискретно-аналоговая оценка случайной амплитуды а сигнала на фоне аддитивной центрированной гауссовской помехи при условии, что распределение амплитуды подчиняется нормальному закону (21.67),

где определяется по формуле задачи Полезно сравнить с (21.71) и убедиться, что оценка (8) представляет оптимальную дискретно-аналоговую оценку по критерию максимальной апостериорной плотности оцениваемой амплитуды сигнала.