ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА И АНАЛИТИЧЕСКИЙ СИГНАЛ

Пусть — действительная функция, принадлежащая к классу . Тогда при можно определить функцию сопряженную при помощи следующего интегрального преобразования Гильберта

причем

берутся главные (в смысле Коши) значения интегралов).

Если — спектр (преобразование Фурье) функции то спектр сопряженной функции

Заменой на переменные интегрирования разделяются. Тогда

Так как

где означает знак переменной , то

Из (3) следует, что На пример, при сопряженная функция

Зададим на действительной оси комплексную функцию . Для того чтобы эта функция была пределом аналитической функции при необходимо и достаточно выполнения любого из следующих двух условий: функции — сопряженные; преобразование Фурье от тождественно равно нулю при Выполнение одного условия влечет за собой выполнение другого.

Комплексную функцию действительного переменного удовлетворяющую одному из указанных условий, называют аналитическим сигналом, соответствующим Обозначим через модуль и аргумент аналитического сигнала:

Тогда

откуда

(8)

Функции называют огибающей и фазой Так как заданной функции соответствует однозначно аналитический сигнал и, следовательно, огибающая и фаза то представление функции в виде (5) с учетом однозначно.