6.3. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ

6.3.1. Характеристика «вход — выход».

Как и для линейных систем с дискретным временем, характеристика «вход — выход» линейной системы с непрерывным временем представляется на основе принципа суперпозиции интегралом Дюамеля

Функцию называют импульсной характеристикой линейной системы с непрерывным временем, а интеграл (6.26) — интегральной сверткой импульсной характеристики со входным сигналом.

Для физически реализуемой линейной системы при (значение ) в данный момент времени зависит только от значений предшествовавших моменту t). В этом случае верхний предел интегрирования в (6.26) равен

Для линейных систем с постоянными параметрами импульсная характеристика зависит только от разности моментов наблюдения на выходе и приложения воздействия на вход системы, т. е. При этом формула (6.26) преобразуется к виду

Соответственно для физически реализуемых систем

Заметим, что (6.29) совпадает с линейным членом функционального ряда Вольтерра (6.9).

6.3.2. Передаточная функция.

По определению передаточная функция и импульсная характеристика инвариантной линейной системы с непрерывным временем являются парой преобразования Фурье

(6.306)

Обозначая через спектры (преобразования Фурье) входного и выходного сигналов, получаем из (6.28) вследствие известного свойства преобразований Фурье

Модуль и аргумент передаточной функции называют амплитудно-частотной (или кратко частотной) и фазо-частотной (или кратко фазовой) характеристиками линейной системы

Учитывая, что — четная, а нечетная функции, легко выразить импульсную характеристику через частотную и фазовую характеристики:

Шириной полосы пропускания частотной характеристики называют ширину основания прямоугольника, высота которого равна максимальной ординате а площадь — площади под кривой квадрата частотной характеристики

6.3.3. Узкополосные линейные системы.

Если частотная характеристика имеет резко выраженную область резонанса в окрестности частоты и если , то линейная система с такой характеристикой называется узкополосной.

Заменой переменной интегрирования приводим формулу (6.33) к виду

Для узкополосной системы нижние пределы интегрирования в интегралах, заключенных в фигурные скобки, с малой погрешностью можно распространить до Тогда, обозначая

получаем

где

(6.356)

Если частотная характеристика симметрична, а фазовая — антисимметрична относительно резонансной частоты то и импульсная характеристика узкополосной линейной системы

т. e. представляет медленно меняющуюся функцию с высокочастотным гармоническим заполнением.

Ширина полосы пропускания узкополосной линейной системы в соответствии с определением (6.34)

(6.36 а)

6.3.4. Характеристика «вход — выход» в форме дифференциального уравнения.

Полезной формой представления характеристики «вход — выход» некоторых инвариантных, физически реализуемых линейных систем с непрерывным временем являются обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

причем .

Совершая преобразование Фурье над обеими частями уравнения (6.37), получаем при нулевом начальном состоянии системы

Из (6.31) и (6.38) следует, что передаточная функция физически реализуемой линейной системы с постоянными параметрами представляет дробно-рациональную функцию переменной

Соответственно частотная и фазовая характеристики такой линейной системы будут дробно-рациональными функциями частоты [ом. (6.32)].

6.3.5. Характеристика «вход — состояние — выход».

Введем вспомогательный спектр

Тогда согласно (6.38) запишем два уравнения:

(6.416)

которым соответствуют два дифференциальных уравнения

(6.42 а)

(без ограничения общности выводов полагаем в (6.38) . Определим переменные состояния следующим образом:

Тогда из (6.42 а) и (6.426) получим

Линейные дифференциальные уравнения (6.43), (6.44) первого порядка относительно переменных состояния вместе с уравнением (6.45) определяют характеристику «вход — состояние — выход» физически реализуемой, инвариантной линейной системы с непрерывным временем.

Она может быть представлена в следующей матричной форме [ср. с (6.21)]:

где

(6.48 а )

Заметим, что в том случае, когда правая часть (6.37) не содержит производных от входного сигнала то переменные состояния совпадают с выходным сигналом и его производными [см. (6.426), (6.43)].

Уравнение (6.46) представляет так называемое каноническое уравнение состояния линейной системы с непрерывным временем. Общее решение этого уравнения

где

Отметим также, что приведенные здесь результаты легко обобщаются на линейные системы с переменными во времени параметрами, когда коэффициенты уравнения (6.37) зависят от времени. Коэффициенты уравнений (6.46) и (6.47) становятся функциями времени, но вычисляются формулам (6.48 а и б) с заменой на