8.2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ СТАТИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

8.2.1. Общие соотношения.

Точное определение функции распределения процесса на выходе динамической (даже линейной) системы представляет в общем случае практически неразрешимую задачу (см. § 7.3). Для статической системы эта задача решается точно и в замкнутой форме для функции распределения любого порядка путем использования результатов, приведенных в п. 3.1.12.

Пусть известны характеристика (8.1) статической нелинейной системы и многомерная плотность вероятности случайного процесса на входе системы. Обозначим через и через . Задача состоит в определении совместной плотности совокупности случайных величин получаемых в результате нелинейного преобразования

Преобразование (8.30) представляет частный случай (3.23), когда преобразованная переменная зависит только от входной переменной. Если ветвь обратного преобразования, то из (3.25) в рассматриваемом случае находим простое выражение якобианов преобразования

Тогда из (3.26) получаем решение рассматриваемой задачи в форме следующего соотношения между плотностями вероятностей процессов на входе и выходе нелинейной системы:

Заметим, что корреляционную функцию и спектральную плотность мощности процесса на выходе нелинейной системы можно определять после того, как найдено, по крайней мере, двумерное распределение этого процесса. Однако, если по условию задачи требуются только энергетические характеристики выходного процесса, часто проще воспользоваться результатами § 8.1, не вычисляя предварительно двумерного распределения.

Наконец, отметим, что нелинейное неинерционное преобразование случайного процесса не вносит дополнительных вероятностных временных связей. Точнее говоря, если процесс до неинерционного преобразования полностью характеризовался -мерным распределением, то и после преобразования он будет полностью характеризоваться распределением порядка. Например, марковский процесс после нелинейного неинерционного преобразования (монотонного) останется марковским. В противоположность этому динамические системы вносят дополнительные вероятностные связи. Так, профильтрованный белый шум оказывается коррелированным, а процесс на выходе линейной системы, когда на входе действует марковский процесс, уже не является марковским

8.2.2. Распределение квадрата случайного процесса.

Используем общую формулу (8.32) для определения двумерной плотности вероятности квадрата случайного процесса . Одномерная плотность вероятности квадрата случайного процесса получается из (3.11) заменой на

Обозначим через двумерные плотности вероятности случайного процесса и его квадрата соответственно. Так как функция, обратная двузначна, то каждой точке с координатами будет соответствовать четыре точки в плоскости

Так как

то в соответствии с (8.32) находим

Если процесс на входе стационарный, то двумерные плотности вероятности процессов на входе и на выходе нелинейной системы зависят только от временного параметра сдвига . При и тогда из (8.34) получим

что согласуется с (3.11).

8.2.3. Линейный детектор.

Найдем двумерную плотность вероятности случайного процесса на выходе линейного детектора с характеристикой

Обозначив

получим (см. п. 3.4.6)

откуда выразим двумерную плотность вероятности процесса на выходе линейного детектора через двумерную плотность вероятности на входе:

Интегрируя по любой из переменных получаем одномерную плотность вероятности процесса после линейного детектирования

(8.36 а)

Эта формула является частным случаем (3.136) при